四面体2

2017年4月16日

ある面に垂直な辺が見つからないときは、空間図形では初等幾何、座標設定、三角比、ベクトルという解法があります。対称性があるときは三角比が有効です。辺の長さが同じものが多い程対称性が強くなり簡単になります。

1.(一橋大)
三角すいABCDにおいて\mbox{AB}=\mbox{BC}=\mbox{CA}=1,~\mbox{DA}=\mbox{DB}=\mbox{DC}=dが成り立っている.
(1) dのとりうる値の範囲を求めよ.
(2) 点Pが辺AB上を動き,点Qが辺CD上を動くとき,PQの長さの最小値をdで表せ.

2.(群馬大)
三角錐OABCにおいて,\mbox{AB}=2\sqrt{3},~\mbox{OA}=\mbox{OB}=\mbox{OC}=\mbox{AC}=\mbox{BC}=\sqrt{7}とする.このとき,三角錐OABCの体積を求めよ.

3.(東京慈恵会医大)
四面体ABCDにおいて,\mbox{AB}=3,~\mbox{BC}=\sqrt{13},~\mbox{CA}=4,~\mbox{DA}=\mbox{DB}=\mbox{DC}=3とし,頂点Dから\bigtriangleup\mbox{ABC}に垂線DHを下ろす.このとき,DHの長さは(  ),四面体ABCDの体積は(  )である.

4.(千葉大)
\mbox{AB}=5,~\mbox{BC}=7,~\mbox{CA}=8および\mbox{OA}=\mbox{OB}=\mbox{OC}=tを満たす四面体OABCがある.
(1) \angle\mbox{BAC}を求めよ.
(2) \bigtriangleupABCの外接円の半径を求めよ.
(3) 4つの頂点O, A, B, Cが同一球面上にあるとき,その球の半径が最小になるような実数tの値を求めよ.

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