集合の演算

2016年11月2日

集合の演算の問題です。

1.((1) 昭和薬科大 (2) 岩手大)
(1) 集合U=\{1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8,~9,~10\}の部分集合A,~Bについて\overline{A}\cap\overline{B}=\{1,~2,~5,~8\},~A \cap B=\{3\},~\overline{A} \cap B=\{4,~7,~10\}がわかっている.このとき,A,~B,~A \cap \overline{B}を求めよ.
(2) 1から49までの自然数からなる集合を全体集合Uとする.Uの要素のうち,50との最大公約数が1より大きいもの全体からなる集合をV,また,Uの要素のうち,偶数であるもの全体からなる集合をWとする.いまABUの部分集合で,次の2つの条件を満たすとするとき,集合Aの要素をすべて求めよ.
(ⅰ) A \cup \overline{B}=V
(ⅱ) \overline{A} \cap \overline{B}=W

2.(Ⅰ.東京都市大 Ⅱ.釧路公立大)
Ⅰ.A=\{1,~5,~a,~b\},~B=\{1,~2,~4,~c\}について,A \cap B=\{1,~3\},~A \cup B=\{1,~2,~3,~4,~5,~7\}であるとき,a,~b,~cを求めよ.
Ⅱ.整数を要素とする次の2つの集合において,A \cap B=\{2,~7\}とする.
A=\{-3,~2,~a^2-9a+25,~2a+3\}
B=\{-2,~a^2-4a-10,~a^2-5a+1,~a+6,~16\}
(1) A \cup Bを求めよ.
(2) \overline{A} \cap Bを求めよ.

3.(早稲田大)
自然数a_k~(1 \leqq k \leqq 5)を要素とする集合A=\{a_1,~a_2,~a_3,~a_4,~a_5\}{a_k}^2を要素とする集合B=\{{a_1}^2,~{a_2}^2,~{a_3}^2,~{a_4}^2,~{a_5}^2\}がある.ただし,a_1<a_2<a_3<a_4<a_5とする.このとき,共通部分A \cap B=\{a_2,~a_5\},~a_2+a_5=20となった.さらに和集合A \cup Bのすべての要素の和が444となった.このことからa_1=(~~~~~),~a_2=(~~~~~),~a_5=(~~~~~)でありa_3+a_4+{a_3}^2+{a_4}^2=(~~~~~)となることがわかる.また,残りの要素a_3=(~~~~~),~a_4=(~~~~~)となる.

4.
aは定数とする.2つの集合A=\{x~|~-2 \leqq x \leqq 6\},~B=\{x~|~x^2-ax-2a^2\}がある.
(1) A \cap B=Aとなるようなaのとり得る値の範囲を求めよ.
(2) A \cup B=Aとなるようなaのとり得る値の範囲を求めよ.

5.
1以上30以下の自然数の集合Uの部分集合A=\{x~|~x \in U,~xは2の倍数},
B=\{x~|~x \in U,~xは3の倍数}, C=\{x~|~x \in U,~xは5の倍数}について,A \cap B \cap CおよびA \cup B \cup Cを求めよ.

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