最大・最小3

2017年4月9日

次は最大、最小問題の応用問題です。まずは図形と方程式への応用です。まずはフェルマーの法則から。

1.(広島大)
点Pは定点A(2,1)からx軸上の点Qまでは速さ\sqrt{2}で,Qから定点B(0,-\sqrt{3})までの速さは1でそれぞれ直線運動をする.PがAから出発してBに最短時間で到達するようにQの座標を定めよ.

以下、角度に関わるものをいくつか。

2.(名古屋大)
cを正の数とし,2曲線y=cx^{\frac{3}{2}}y=\sqrt{x}の原点でない交点をPとする.それぞれの曲線のPにおける接線のなす角を\theta~\left(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)とする.cが正の数を動くとき,\thetaはどのような範囲を動くか.

3.(東京理科大)
座標平面上の楕円E:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1を考える.pを実数とし,点P(4,p)から楕円Eへ引いた2本の接線の接点をそれぞれA, Bとする.また,\angleAPB=\theta~(0<\theta<\pi)とする.
(1) 2本の接線の傾きをpで表せ.
(2) p=1のとき,\tan\thetaの値を求めよ.
(3) pを用いて\tan\thetaを表せ.
(4) pp \geqq 0の範囲で動かすとき,\thetaが最大となるときのpおよびそのときの\tan\thetaの値を求めよ.

4.(東京大)
次の連立不等式で定まる座標平面上の領域Dを考える.
x^2+(y-1)^2 \leqq 1,~x \geqq \dfrac{\sqrt{2}}{3}
直線lは原点を通り,Dとの共通部分が線分となるものとする.その線分の長さLの最大値を求めよ.また,Lが最大値をとるとき,x軸とlのなす角\theta~\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)の余弦\cos\thetaを求めよ.

最後に直線の通過領域の問題です。

5.(富山大)
0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}を満たす実数tに対して,xy平面上に2点A(1+2t,(1+t)\cos t+\sin t), B(-1,-(1+t)\cos t+\sin t)を考える.2点A, Bを通る直線をl_tとする.
(1) 直線l_tの方程式を求めよ.
(2) kを定数とし,直線l_tと直線x=kとの交点をPとする.t0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}の範囲を動くとき,点Pのy座標のとりうる値の範囲をkを用いて表せ.
(3) t0 \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2}の範囲を動くとき,直線l_tの通りうる領域を図示せよ.

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