数学Ⅲ 微分法とその応用

多変数関数の最大最小の問題です。

1.(大阪大)
(1) $c$を正の定数とする.正の実数$x,~y$が$x+y=c$を満たすとき,
$\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+ ...

数学Ⅲ 微分法とその応用

導関数を利用する問題です。

1.(山梨大)
関数$y=f(x)~(-\infty<x<\infty)$が,正の定数$p$により$f(x+p)=f(x)$となるとき,$f(x)$は$p$を周期とする周期関 ...

数学Ⅲ 微分法とその応用

1の続きです。少し抽象的なものをいくつか。

1.(東京大)
関数$f(x)$を$f(x)=\dfrac{1}{2}x\{1+e^{-2(x-1)}\}$とする.ただし,$e$は自然対数の底である.
(1) ...

数学Ⅲ 微分法とその応用

数列の収束への応用です。

1.(三重大)
$f(x)=\dfrac{1}{2}\cos x$とする.
(1) 方程式$f(x)=x$はただ1つの解をもつことを示せ.
(2) 任意の実数$x,~y$に ...

数学Ⅲ 微分法とその応用

最後に平均値の定理を利用する問題です。微分法を利用した2変数の不等式の証明は、置き換え、1文字固定、平均値の定理の3つの手法をマスターしておかなければなりません。

1.
$a<b$のとき,次の不等式を平均値の ...

数学Ⅲ 微分法とその応用

次はうまく置き換えができない場合です。この場合は1文字を固定して定数とみて1変数に持ち込みます。

1.(名古屋工業大)
$a,~b$を正の数とする.不等式$a\log (1+a)+e^b>1+ab+b$を証明 ...

数学Ⅲ 微分法とその応用

ここからは2変数の不等式の証明です。まずは置き換えにより1変数に持ち込むパターンから。

1.(お茶の水女子大)
$a,~b$は$b \geqq a>0$を満足する実数とするとき,次の不等式が成り立つことを証明 ...

数学Ⅲ 微分法とその応用

凸性にかかわるものをいくつか。

1.(福井医科大)
以下の問いに答えよ.
(1) $\theta$の関数$\cos\theta$は開区間$(0,\pi)$上で減少することを示せ.
(2) $0< ...

数学Ⅲ 微分法とその応用

次は不等式を利用して大小を判定する問題です。

1.(名古屋大)
(1) $x$を正数とするとき,$\log\left(1+\dfrac{1}{x}\right),~\dfrac{1}{x+1}$の大小を比較せよ. ...

数学Ⅲ 微分法とその応用

指数関数に関わるものをいくつか。

1.(東北大)
(1) $\log x$を$x$の自然対数とする.このとき,$f(x)=\dfrac{\log x}{x}~(x>0)$の極値,および$y=f(x)$のグラフ ...