数学Ⅲ 積分法とその応用

最後に水の問題です。

1.(東洋大)
$xy$平面を水平にとり,$xz$平面において関数$z=f(x)$を
$f(x)=\left\{\begin{array}{l}
0~(0 \leqq x \l ...

数学Ⅲ 積分法とその応用

次は表面積に関わる問題です。表面積は一般に求めるのが難しい (高校の範囲外)ですが、求められるものを扱います。詳しくは大学で学んで下さい。

1.(大阪市立大)
半径1の円柱を,底面の直径を含み底面と角$\alpha ...

数学Ⅲ 積分法とその応用

弧長は物理では道のりになります。距離と道のりは同じではないので注意して下さい。この辺りは物理で学習しているはずです。まずは1次元運動から。

1.
数直線上を動く点Pの座標$x$が時刻$t$の関数として$x=12t- ...

数学Ⅲ 積分法とその応用

次は$y=f(x)$の形で表された曲線の弧長を求める問題です。

1.(関西大)
(1) 曲線$y=\dfrac{1}{2}x^{\frac{3}{2}}~(0 \leqq x \leqq 1)$の長さを求めよ.

数学Ⅲ 積分法とその応用

次は極方程式で表された曲線の弧長を求める問題です。

1.(熊本大)
平面上の点の直交座標を$(x,y)$,極座標を$(r,\theta)$とする.極方程式$r=f(\theta)$によって表される曲線$C$について ...

数学Ⅲ 積分法とその応用

曲線の長さ (弧長)を求める問題です。まずは媒介変数表示された曲線の長さを求める問題から。まずはサイクロイドです。

1.(九州大)
中心$(0,a)$,半径$a$の円を,$xy$平面上の$x$軸の上を$x$の正の方 ...

数学Ⅲ 積分法とその応用

最後に空間内の曲面の回転体の問題をいくつか。

1.C (名古屋大)
空間内にある半径1の球 (内部を含む)を$B$とする.直線$l$と$B$が交わっており,その交わりは長さ$\sqrt{3}$の線分である.

数学Ⅲ 積分法とその応用

次もよくある問題です。正多面体を回す問題です。

1.C (京都大)
座標空間内で,O$(0,0,0)$, A$(1,0,0)$, B$(1,1,0)$, C$(0,1,0)$, D$(0,0,1)$, E$(1,0 ...

数学Ⅲ 積分法とその応用

次は空間内の錐体を回します。まずは三角錐を2題。

1.B (上智大)
$xyz$空間上の4点O$(0,0,0)$, A$(6,0,0)$, B$(0,3,0)$, C$(0,3,3)$を頂点とする三角錐OABCを考 ...

数学Ⅲ 積分法とその応用

次は空間内の立体図形の回転体の体積を求める問題です。まずは柱体を回します。

1.B (九州大)
$xyz$空間内の図形$K$を不等式$0 \leqq x \leqq 1,~y \geqq 0,~z \geqq 0, ...