数学Ⅲ 2次曲線

次はいろいろな曲線の性質を極座標を利用して調べます。まずはカージオイドから。

1.(神戸大)
$a>0$を定数として,極方程式$r=a(1+\cos\theta)$により表される曲線$C_a$を考える.

数学Ⅲ 2次曲線

次は極座標を利用して2次曲線のいろいろな性質を調べる問題です。当たり前のことですが、座標、ベクトル、三角比、極座標等は図形の性質を調べるための道具に過ぎません。しっかり理解をして使いこなして下さい。まずは放物線の一定値問題から。

数学Ⅲ 2次曲線

極座標・極方程式の続きです。2次曲線を極方程式で表すとどうなるかという問題です。離心率を利用して表します。

1.(関西大)
原点を極とし,$x$軸の正の部分を始線とする点Pの極座標を$(r,\theta)$とする. ...

数学Ⅲ 2次曲線

極座標についてです。まずは極座標とは何かということをつかんで欲しいと思います。現課程では複素数平面を学ぶのでなじみやすいと思います。要は極形式を複素数平面ではなく実数の平面で考えたものです。

1.(徳島大)
直交座 ...

数学Ⅲ 2次曲線

2次曲線は軸が等しい2つの直円錐面の頂点をくっつけた立体を切断したときに現れる曲線なので円錐曲線とも呼ばれます。それを題材とした問題をいくつか。

1.(千葉大)
3次元空間の$yz$平面上において,$y^2+z^2 ...

数学Ⅲ 2次曲線

離心率に関わる問題です。離心率というものを導入すると2次曲線 (放物線, 円, 楕円, 双曲線)を1つの式で統一的に表すことができます。

1.(宇都宮大)
$xy$平面上の点P$(x,y)$から定点F$(a,b)$ ...

数学Ⅲ 2次曲線

次は2次曲線と直線の通過領域の問題です。

1.(お茶の水女子大)
平面上の点Oを中心とする半径1の円を$C$とし,その外部に点Fをとる.点Qが$C$の周全体を動くとき,線分FQの垂直二等分線の動く範囲を求め,概形を ...

数学Ⅲ 2次曲線

次は同じ焦点をもつ楕円と双曲線の交点におけるそれぞれの接線は直交しますが、その性質を利用した軌跡の問題です。

1.(同志社大)
実数$a,~b$は$a>0,~b>1$を満たすとする.2曲線
$C ...

数学Ⅲ 2次曲線

次も有名な問題です。放物線の2接線が直交する場合その交点の軌跡は直線 (準線)となりますが、それ以外の角度で交わる場合に交点の軌跡はどうなるかという問題です。

1.(筑波大)
放物線$C:y=x^2$上の異なる2点 ...

数学Ⅲ 2次曲線

次も有名な問題です。

1.
長さ5の線分ABの端Aは$x$軸上を,端Bは$y$軸上を動くとき,
(1) 線分ABを$2:3$に内分する点Pの軌跡を求めよ.
(2) 線分ABを$2:1$に外分する点Q ...