チェビシェフ多項式2

2019年3月17日

チェビシェフ多項式の漸化式の問題をいくつか。

1.B (慶応大)
xの多項式f_n(x)~(n=0,~1,~\cdots)
f_0(x)=1,~f_1(x)=x,~f_{n+1}(x)=2xf_n(x)-f_{n-1}(x)~(n=1,~2,~\cdots)
により順に定める.
(1) f_5(x)を具体的に求めるとf_5(x)=(~~~~~)であり,
方程式f_5(x)=0を解くとx=(~~~~~)である.
(2) n=1,~2,~\cdotsに対して,f_n(\cos\theta)=\cos n\thetaであることを示せ.
(3) (1)と(2)を用いて\cos\dfrac{\pi}{10}の値を求めよ.

解答

2.B (大阪大)
媒介変数tによってx=\cos t,~y=\cos nt~(0 \leqq t \leqq \pi)と表される曲線をy=f_n(x)~(-1 \leqq x \leqq 1)とする.ただし,nは自然数である.
(1) f_1(x),~f_2(x),~f_3(x)を求めよ.
(2) n \geqq 2のとき,f_{n+1}(x)=2xf_n(x)-f_{n-1}(x)を示せ.
(3) \cos\dfrac{\pi}{4n}は無理数であることを示せ.ただし,\sqrt{2}が無理数であることを証明なしに用いてよい.

解答

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