三角関数の合成１

2016年9月15日2019年3月17日

まずはsinで合成する問題です。

１．A
次の式を $r\sin(\theta+\alpha)$ の形に変形せよ．
(1) $\sin\theta+\cos\theta$
(2) $\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta$
(3) $3\sin\theta+4\cos\theta$

→解答

次はcosで合成する問題です。

２．A
$\sqrt{3}\cos\theta-\sin\theta=r\cos(\theta+\alpha)$ とおくとき， $\tan\alpha$ の値を求めよ．ただし， $r>0$ とする．

→解答

次は合成を利用した方程式の解の問題です。

３．B (広島大)
$-180^{\circ}<x<180^{\circ}$ とし， $c$ を実数とする． $x$ の方程式 $\sin x+\sqrt{3}\cos x-c=0\cdots(*)$ について，
(1) $c=-\sqrt{3}$ のとき， $x$ の値を求めよ．
(2) $(*)$ が異なる2つの解をもつための $c$ の条件を求めよ．

→解答

４．B (関西大)
$3\sin x+\cos x=c$ が $0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ で異なる2つの解をもつような $c$ の値の範囲を求めよ．

→解答

次は最大・最小の問題です。

５．B ((1) 青山学院大　(2) 慶応大)
(1) 関数 $y=2\sqrt{3}\sin\theta+3\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)$ の $0 \leqq \theta \leqq \pi$ における最大値，最小値を求めよ．
(2) 関数 $y=2\sin x+3\cos x$ の $0 \leqq x \leqq \pi$ における最大値，最小値を求めよ．

→解答

６．B (学習院大)
条件 $0^{\circ}\leqq a \leqq 180^{\circ}$ を満たす $a$ に対して，関数 $f(x)$ を
$f(x)=\sin(x+a)-\sqrt{3}\sin(x+a)$
と定める． $x$ が $0^{\circ}\leqq x \leqq 90^{\circ}$ の範囲を動くとき， $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ．

→解答

最後に2変数の問題です。

７．B (京都大)
$\alpha,~\beta$ が $\alpha>0^{\circ},~\beta>0^{\circ},~\alpha+\beta<180^{\circ}$ かつ $\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\sin^2(\alpha+\beta)$ を満たすとき， $\sin\alpha+\sin\beta$ のとりうる値の範囲を求めよ．

→解答

８．B (弘前大)
次の不等式の表す領域を図示せよ．
$|x| \leqq \pi,~|y| \leqq \pi,~\sin(x+y)-\sqrt{3}\cos(x+y) \geqq 1$