三角関数の合成1

2019年3月17日

まずはsinで合成する問題です。

1.A
次の式をr\sin(\theta+\alpha)の形に変形せよ.
(1) \sin\theta+\cos\theta
(2) \sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta
(3) 3\sin\theta+4\cos\theta

解答

次はcosで合成する問題です。

2.A
\sqrt{3}\cos\theta-\sin\theta=r\cos(\theta+\alpha)とおくとき,\tan\alphaの値を求めよ.ただし,r>0とする.

解答

次は合成を利用した方程式の解の問題です。

3.B (広島大)
-180^{\circ}<x<180^{\circ}とし,cを実数とする.xの方程式\sin x+\sqrt{3}\cos x-c=0\cdots(*)について,
(1) c=-\sqrt{3}のとき,xの値を求めよ.
(2) (*)が異なる2つの解をもつためのcの条件を求めよ.

解答

4.B (関西大)
3\sin x+\cos x=c0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}で異なる2つの解をもつようなcの値の範囲を求めよ.

解答

次は最大・最小の問題です。

5.B ((1) 青山学院大 (2) 慶応大)
(1) 関数y=2\sqrt{3}\sin\theta+3\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)0 \leqq \theta \leqq \piにおける最大値,最小値を求めよ.
(2) 関数y=2\sin x+3\cos x0 \leqq x \leqq \piにおける最大値,最小値を求めよ.

解答

6.B (学習院大)
条件0^{\circ}\leqq a \leqq 180^{\circ}を満たすaに対して,関数f(x)
f(x)=\sin(x+a)-\sqrt{3}\sin(x+a)
と定める.x0^{\circ}\leqq x \leqq 90^{\circ}の範囲を動くとき,f(x)の最大値と最小値を求めよ.

解答

最後に2変数の問題です。

7.B (京都大)
\alpha,~\beta\alpha>0^{\circ},~\beta>0^{\circ},~\alpha+\beta<180^{\circ}かつ\sin^2\alpha+\sin^2\beta=\sin^2(\alpha+\beta)を満たすとき,\sin\alpha+\sin\betaのとりうる値の範囲を求めよ.

解答

8.B (弘前大)
次の不等式の表す領域を図示せよ.
|x| \leqq \pi,~|y| \leqq \pi,~\sin(x+y)-\sqrt{3}\cos(x+y) \geqq 1

解答

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