折れ線の長さの最小値

2016年9月17日2019年8月21日

折れ線の長さの最小値の問題です。この手の問題ははね返ったままでは考えにくいので、どちらか一方の点をはね返りの線に関して対称移動して考えるのが原則です。

１．B (関西大)
原点がOである座標平面上に点A $(7,1)$ がある．また，直線 $y=\dfrac{x}{2}$ を $l$ とする．
(1) $x$ 軸に対して点Aと対称な点Bの座標は(　　)であり，直線 $l$ に関して点Aと対称な点Cの座標は(　　)である．
(2) 点Pは $x$ 軸上を動き，点Qは直線 $l$ 上を動くものとする．このとき， $\mbox{AP}+\mbox{PQ}+\mbox{QA}$ を最小にする点Pの座標は(　　)であり，Qの座標は(　　)である．

→解答

応用問題を1つ。

２．B (慶応大)
$xy$ 平面上の点A $(3,1)$ と， $x$ 軸上の点Bおよび直線 $y=x$ 上の点Cからなる $\bigtriangleup$ ABC全体からなる集合を $S$ とする． $S$ に属する $\bigtriangleup$ ABCで，周囲の長さ $\mbox{AB}+\mbox{BC}+\mbox{CA}$ が最小になるのは，Bの $x$ 座標=(　　)，Cの $x$ 座標=(　　)のときであり，そのときの周囲の長さは， $\mbox{AB}+\mbox{BC}+\mbox{CA}=(~~~~~)$ である．

→解答

さらに、円がからんだ応用問題を2つ。

３． B (愛知教育大)
座標平面上に点A $(1,0)$ を固定し，点Pを直線 $x+y=2$ 上に，点Qを円 $x^2+y^2=1$ 上にそれぞれとる．このとき，線分の長さの和 $\mbox{AP}+\mbox{PQ}$ の最小値と，そのときの点P, Qの座標を求めよ．

→解答

４．C (一橋大)
点Oを中心とする半径 $r$ の円周上に，2点A, Bを $\angle\mbox{AOB}<\dfrac{\pi}{2}$ となるようにとり $\theta=\angle\mbox{AOB}$ とおく．この円周上に点Cを，線分OCが線分ABと交わるようにとり，線分AB上に点Dをとる．また，点Pは線分OA上を，点Qは線分OB上を，それぞれ動くとする．
(1) $\mbox{CP}+\mbox{PQ}+\mbox{QC}$ の最小値を $r$ と $\theta$ で表せ．
(2) $a=\mbox{OD}$ とおく． $\mbox{DP}+\mbox{PQ}+\mbox{QD}$ の最小値を $a$ と $\theta$ で表せ．
(3) さらに，点Dが線分AB上を動くときの $\mbox{DP}+\mbox{PQ}+\mbox{QD}$ の最小値を $r$ と $\theta$ で表せ．