折れ線の長さの最小値

2019年8月21日

折れ線の長さの最小値の問題です。この手の問題ははね返ったままでは考えにくいので、どちらか一方の点をはね返りの線に関して対称移動して考えるのが原則です。

1.B (関西大)
原点がOである座標平面上に点A(7,1)がある.また,直線y=\dfrac{x}{2}lとする.
(1) x軸に対して点Aと対称な点Bの座標は(  )であり,直線lに関して点Aと対称な点Cの座標は(  )である.
(2) 点Pはx軸上を動き,点Qは直線l上を動くものとする.このとき,\mbox{AP}+\mbox{PQ}+\mbox{QA}を最小にする点Pの座標は(  )であり,Qの座標は(  )である.

解答

応用問題を1つ。

2.B (慶応大)
xy平面上の点A(3,1)と,x軸上の点Bおよび直線y=x上の点Cからなる\bigtriangleupABC全体からなる集合をSとする.Sに属する\bigtriangleupABCで,周囲の長さ\mbox{AB}+\mbox{BC}+\mbox{CA}が最小になるのは,Bのx座標=(  ),Cのx座標=(  )のときであり,そのときの周囲の長さは,\mbox{AB}+\mbox{BC}+\mbox{CA}=(~~~~~)である.

解答

さらに、円がからんだ応用問題を2つ。

3. B (愛知教育大)
座標平面上に点A(1,0)を固定し,点Pを直線x+y=2上に,点Qを円x^2+y^2=1上にそれぞれとる.このとき,線分の長さの和\mbox{AP}+\mbox{PQ}の最小値と,そのときの点P, Qの座標を求めよ.

解答

4.C (一橋大)
点Oを中心とする半径rの円周上に,2点A, Bを\angle\mbox{AOB}<\dfrac{\pi}{2}となるようにとり\theta=\angle\mbox{AOB}とおく.この円周上に点Cを,線分OCが線分ABと交わるようにとり,線分AB上に点Dをとる.また,点Pは線分OA上を,点Qは線分OB上を,それぞれ動くとする.
(1) \mbox{CP}+\mbox{PQ}+\mbox{QC}の最小値をr\thetaで表せ.
(2) a=\mbox{OD}とおく.\mbox{DP}+\mbox{PQ}+\mbox{QD}の最小値をa\thetaで表せ.
(3) さらに,点Dが線分AB上を動くときの\mbox{DP}+\mbox{PQ}+\mbox{QD}の最小値をr\thetaで表せ.

解答

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