積和公式・和積公式1

2019年3月17日

まずは積和から。

1.B ((2) 慶応大)
(1) 次の式の値を求めよ.
\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 80^{\circ}
(2) \sin 10^{\circ}\sin 50^{\circ}\sin 70^{\circ}の値を求めよ.

解答

次に和積。

2.B (上智大)
\sin 40^{\circ}+\sin 160^{\circ}+\sin 280^{\circ}=(~~~~~)である.

解答

次に有名問題。

3.B (一橋大、高知大)
三角形ABCにおいて\angleA=60°であるとする.
(1) \sin B+\sin Cのとりうる値の範囲を求めよ.
(2) \cos B+\cos Cのとりうる値の範囲を求めよ.
(3) \sin B\sin Cのとりうる値の範囲を求めよ.

解答

4.B (京都府立大)
\bigtriangleupABCの3つの角\angle\mbox{A},~\angle\mbox{B},~\angle\mbox{C}のそれぞれの大きさをA,~B,~Cとする.
(1) \cos A+\cos B=2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}を余弦の加法定理から導け.
(2) (1)の結果を用いて\cos A+\cos B \leqq 2\sin\dfrac{C}{2}を示せ.また,等号が成り立つのはどのようなときか.
(3) (2)の結果を用いて\cos A+\cos B+\cos Cが最大となるとき,A,~B,~Cを求めよ.

解答

5.B (東京慈恵会医大)
三角形ABCにおいて、
(1) 不等式\cos A\cos B \leqq \dfrac{1}{2}(1-\cos C)が成立することを示せ.
(2) 角A,~B,~Cが変化するとき,\cos A\cos B\cos Cの最大値を求めよ.

解答

6.B (京都大)
\alpha,~\beta,~\gamma\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ},~\alpha \geqq 0^{\circ},~\beta \geqq 0^{\circ},~\gamma \geqq 0^{\circ}を満たすとき,
\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma \geqq 1
を示せ.

解答

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