積和公式・和積公式１

2016年9月18日2019年3月17日

まずは積和から。

１．B ((2) 慶応大)
(1) 次の式の値を求めよ．
$\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 80^{\circ}$
(2) $\sin 10^{\circ}\sin 50^{\circ}\sin 70^{\circ}$ の値を求めよ．

→解答

次に和積。

２．B (上智大)
$\sin 40^{\circ}+\sin 160^{\circ}+\sin 280^{\circ}=(~~~~~)$ である．

→解答

次に有名問題。

３．B (一橋大、高知大)
三角形ABCにおいて $\angle$ A=60°であるとする．
(1) $\sin B+\sin C$ のとりうる値の範囲を求めよ．
(2) $\cos B+\cos C$ のとりうる値の範囲を求めよ．
(3) $\sin B\sin C$ のとりうる値の範囲を求めよ．

→解答

４．B (京都府立大)
$\bigtriangleup$ ABCの3つの角 $\angle\mbox{A},~\angle\mbox{B},~\angle\mbox{C}$ のそれぞれの大きさを $A,~B,~C$ とする．
(1) $\cos A+\cos B=2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$ を余弦の加法定理から導け．
(2) (1)の結果を用いて $\cos A+\cos B \leqq 2\sin\dfrac{C}{2}$ を示せ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(3) (2)の結果を用いて $\cos A+\cos B+\cos C$ が最大となるとき， $A,~B,~C$ を求めよ．

→解答

５．B (東京慈恵会医大)
三角形ABCにおいて、
(1) 不等式 $\cos A\cos B \leqq \dfrac{1}{2}(1-\cos C)$ が成立することを示せ．
(2) 角 $A,~B,~C$ が変化するとき， $\cos A\cos B\cos C$ の最大値を求めよ．

→解答

６．B (京都大)
角 $\alpha,~\beta,~\gamma$ が $\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ},~\alpha \geqq 0^{\circ},~\beta \geqq 0^{\circ},~\gamma \geqq 0^{\circ}$ を満たすとき，
$\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma \geqq 1$
を示せ．