円の媒介変数表示

2019年3月17日

円の媒介変数表示の問題をいくつか。

1.B (学習院大)
xy平面上に2点A(0,2), B(2,2)と円C:x^2+y^2=1がある.点PがC上を動くとき\mbox{AP}^2+\mbox{BP}^2の最大値と最小値を求め,また,それらを与えるPの座標を求めよ.

解答

2.B (早稲田大)
xy平面上に2つの動点A, Bがある.動点Aは,原点(0,0)を中心とする半径1の円周上を毎秒aの速さで時計の針と逆回りに動き,動点Bは,(1,0)を中心とする半径2の円周上を毎秒4aの速さで時計の針と逆回りに動く.ただしa>0とする.ある時刻に動点Aは(1,0),動点Bは(3,0)の位置にあった.A, Bが最も接近するときと,最も離れるときのA, Bの距離を求めよ.

解答

3.C (東京理科大)
点Pは円周C_1:(x-2)^2+y^2=1上を,点Qは円周C_2:(x+1)^2+y^2=1上を,同じ速さで時計の針と反対の向きに動く,最初P, Qはそれぞれ(3,0),~(-1,1)の位置にあるものとする.
(1) Pが円周C_1上を\dfrac{1}{4}周したときの,線分PQの中点Mの座標を求めよ.
(2) 円周C_1の中心からPまでの線分がx軸の正の向きとなす角を\thetaとして,\mbox{PQ}^2\sin\theta\cos\thetaで表せ.
(3) Pが円周C_1上を1周するときのPQの最大値とそれを与える\thetaの値,最小値とそれを与える\thetaの値をそれぞれ求めよ.
(4) (2)における線分PQの中点Mの座標を\sin\theta\cos\thetaで表せ.
(5) Pが円周C_1上を1周するとき,(4)のMはどのように動くか.

解答

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