等差型・等比型

2019年2月25日

基本的な型は身についているものとしてあまり見慣れないものを扱い、もう一歩上を目指します。最終的には基本的な型に行き着くことを実感して下さい。

まずは等差型から。

1.C (早稲田大)
数列\{a_n\}~(n=1,~2,~3,~\cdots)があるとき,初項から第n項までの和をS_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)とかく.いまa_nS_nが,関係式S_n=2a_n^2+\dfrac{1}{2}a_n-\dfrac{3}{2}を満たし,かつ,すべての項a_nは同符号である.
(1) a_nの満たす漸化式(a_{n+1}a_nの関係式)を求めよ.
(2) 一般項a_nnの式で表せ.

解答

類題です。少し難しくなります。

2.C (名古屋大)
数列\{a_n\}があって,すべてのnについて,初項a_1から第na_nまでの和が\left(a_n+\dfrac{1}{4}\right)^2に等しいとする.
(1) a_nがすべて正とする.一般項a_nを求めよ.
(2) 最初の100項のうち,1つは負で他はすべて正とする.a_{100}を求めよ.

解答

2の名古屋の問題が先に出され、1の早稲田の問題はその何年後かに出題されています。早稲田の文系は以前に国立大学(千葉大、大阪教育大などのレベル)で出題された問題の数値を変えただけの問題を出すことがあります。早稲田に限ったありませんが…。ちなみに千葉は絶対値のついた2次関数の問題。大阪教育大は空間ベクトルの四面体の体積を求める問題でした。

次に等比型。

3.B (信州大)
次の関係式a_1=-1,~a_{n+1}=2a_n(1-a_n)~(n=1,~2,~3,~\cdots)で定められる数列\{a_n\}は,1-2a_{n+1}=(1-2a_n)^2を満たすことを示し,一般項a_nを求めよ.

解答

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