分数型１

2016年9月19日2019年2月25日

$a_{n+1}=\dfrac{pa_n}{ra_n+s}$ 型から。

１．B (岩手大)
数列 $\{a_n\},~\{b_n\}$ が次の条件をみたす．
$a_1=\dfrac{1}{6}$ および， $a_{n+1}=\dfrac{a_n}{6a_n+7},~b_n=\dfrac{1}{a_n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$
(1) $b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表せ．
(2) 数列 $\{a_n\},~\{b_n\}$ の一般項 $a_n,~b_n$ を求めよ．
(3) $b_n$ は6の倍数であることを証明せよ．

→解答

２．B (山口大)
$a_1=1,~2a_na_{n+1}+3a_{n+1}-a_n=0~(n=1,~2,~3,~\cdots\cdots)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ がある．
(1) すべての自然数 $n$ に対して $a_n>0$ であることを数学的帰納法で証明せよ．
(2) $b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおくとき，数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ．
(3) ${\displaystyle\sum_{k=1}^n} b_k$ を求めよ．