分数型２

2016年9月19日2019年3月3日

$a_{n+1}=\dfrac{pa_n+q}{ra_n+s}~(ps-qr \ne 0)$ 型です。まずは特性解が異なる2実解となるタイプ。

１．B (高知大)
数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_{n+1}=\dfrac{3a_n+2}{a_n+2}~(n=1,~2,~3,~\cdots),~a_1=0$ で与えられている．このとき
(1) $x=\dfrac{3x+2}{x+2}$ の2つの解を $\alpha,~\beta~(\alpha > \beta)$ とする． $b_n=\dfrac{a_n-\alpha}{a_n-\beta}$ とするとき，数列 $\{b_n\}$ は等比数列となることを示せ．
(2) $a_n$ を求めて， $a_n < \alpha$ であることを示せ．

→解答

次の問題は置き方が少し異なりますがどのような問題形式でも解けるようにしておかなければなりません。

２．B (東北大)
数列 $\{x_n\}$ が $x_1=19,~x_{n+1}=\dfrac{5x_n+8}{x_n+3}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ で定義されているとする．
(1) $y_n=\dfrac{x_n+a}{x_n+b}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ が等比数列となるような定数 $a,~b~(a<b)$ を求めよ．
(2) 一般項 $x_n$ を求めよ．

→解答

次に平行移動して分数型１に持ち込む解法を。

３．B (防衛大)
$a_1=9,~a_{n+1}=\dfrac{9a_n+4}{a_n+6}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ がある．
(1) $b_n=a_n-k~(k>0)$ とおくとき， $b_{n+1}=\dfrac{\alpha b_n}{b_n+\beta}$ となるように定数 $k,~\alpha,~\beta$ を定めよ．
(2) $c_n=\dfrac{1}{b_n}$ として数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよ．
(3) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めて，数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．

→解答

次に特性解重解型を1つ。

４．B (秋田大)
数列 $\{a_n\}$ が次の関係式で与えられていれる．
$a_1=3,~a_{n+1}=\dfrac{a_n-16}{a_n-7}$
(1) $b_n=\dfrac{1}{a_n-4}$ とおくと，数列 $\{b_n\}$ は等差数列であることを示せ．
(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．