3項間漸化式

2019年2月27日

3項間漸化式の問題をいくつか。

まずは、特性解が異なる2実解のタイプ。

1.(津田塾大)
数列\{a_n\}a_1=1,~a_2=1であり,n \geqq 3のとき漸化式a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}をみたしている.
(1) n \geqq 2のときa_n=2a_{n-1}+(-1)^{n-1}が成り立つことを示せ.
(2) n \geqq 1のときa_{3n}は3で割り切れることを示せ.

解答

次に、特性解重解型

2.(東京理科大)
数列\{a_n\}に関して,a_1=1,~a_2=5,~a_{n+2}+10a_{n+1}+25a_n=0~(n=1,~2,~3,~\cdots)のとき,a_nnの式で表せ.

解答

次に、フィボナッチ数列。和を求められますか。

3.(関西医大)
数列\{a_n\}a_1=1,~a_2=1,~a_{n+2}=a_{n+1}+a_n~(n \geqq 1)で定義されていれる.
(1) a_{10},~a_{16}を求めよ.
(2) a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)を満たす実数p,~qを求めよ.
(3) 一般項a_nを求めよ.
(4) 初項から第n項までの和S_nを求めよ.

解答

最後に、しっぽに何かがついているものを2つ。

4.(宇都宮大)
a_1=1,~a_2=2,~a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n+6~(n=1,~2,~3,~\cdots)で定められる数列\{a_n\}について
(1) a_4を求めよ.
(2) b_n=a_{n+1}-a_nとおくと,数列\{b_n\}は等差数列であることを示せ.
(3) a_nnの式で表せ.

解答

5.((1) 東北大 (2) 関西学院大)
(1) 数列\{a_n\}a_1=2,~a_2=0,~a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=2n-8~(n=1,~2,~3,~\cdots)で定義されているとする.このとき,一般項a_nを求めよ.
(2) 数列\{a_n\}は,a_1=0,~a_2=1,~a_n+a_{n-1}-2a_{n-2}=2^{n-2}~(n \geqq 3)によって定められているとする.このとき,一般項a_nを求めよ.

解答

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