3項間漸化式

2016年9月19日2019年2月27日

3項間漸化式の問題をいくつか。

まずは、特性解が異なる2実解のタイプ。

１．(津田塾大)
数列 $\{a_n\}$ は $a_1=1,~a_2=1$ であり， $n \geqq 3$ のとき漸化式 $a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}$ をみたしている．
(1) $n \geqq 2$ のとき $a_n=2a_{n-1}+(-1)^{n-1}$ が成り立つことを示せ．
(2) $n \geqq 1$ のとき $a_{3n}$ は3で割り切れることを示せ．

→解答

次に、特性解重解型

２．(東京理科大)
数列 $\{a_n\}$ に関して， $a_1=1,~a_2=5,~a_{n+2}+10a_{n+1}+25a_n=0~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ のとき， $a_n$ を $n$ の式で表せ．

→解答

次に、フィボナッチ数列。和を求められますか。

３．(関西医大)
数列 $\{a_n\}$ が $a_1=1,~a_2=1,~a_{n+2}=a_{n+1}+a_n~(n \geqq 1)$ で定義されていれる．
(1) $a_{10},~a_{16}$ を求めよ．
(2) $a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)$ を満たす実数 $p,~q$ を求めよ．
(3) 一般項 $a_n$ を求めよ．
(4) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ．

→解答

最後に、しっぽに何かがついているものを2つ。

４．(宇都宮大)
$a_1=1,~a_2=2,~a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n+6~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ について
(1) $a_4$ を求めよ．
(2) $b_n=a_{n+1}-a_n$ とおくと，数列 $\{b_n\}$ は等差数列であることを示せ．
(3) $a_n$ を $n$ の式で表せ．

→解答

５．((1) 東北大　(2) 関西学院大)
(1) 数列 $\{a_n\}$ が $a_1=2,~a_2=0,~a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=2n-8~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ で定義されているとする．このとき，一般項 $a_n$ を求めよ．
(2) 数列 $\{a_n\}$ は， $a_1=0,~a_2=1,~a_n+a_{n-1}-2a_{n-2}=2^{n-2}~(n \geqq 3)$ によって定められているとする．このとき，一般項 $a_n$ を求めよ．