4項間漸化式

2019年3月1日

過去には4項間漸化式も出題されています。基本的な方法は変わりません。

1.C (横浜国立大)
数列\{a_n\}a_{n+3}=10a_{n+2}-31a_{n+1}+30a_n~(n=0,~1,~2,~\cdots)をみたしているとき,
(1) 3次方程式x^3=10x^2-31x+30は異なる3実数解\alpha,~\beta,~\gamma~(\alpha<\beta<\gamma)をもつ.\alpha,~\beta,~\gammaの値を求めよ.
(2) \alpha,~\betaを(1)で求めたものとする.b_n=a_{n+1}-\alpha a_n~(n=0,~1,~2,~\cdots)とおくとき,b_{n+2}b_{n+1},~b_nの式で表せ.
さらにc_n=b_{n+1}-\beta b_{n}~(n=0,~1,~2,~\cdots)とおくとき,c_{n+1}c_nの式で表せ.
(3) a_0=1,~a_1=2,~a_2=5のとき,c_n,~b_n,~a_nをそれぞれnの式で表せ.

解答

2.B (東京都立大)
(1) \alpha,~\beta,~\gammaを3次方程式x^3+px^2+qx+r=0 (p,~q,~rは定数)の3つの解とし,A,~B,~Cを定数とする.このとき,x_n=A\alpha^n+B\beta^n+C\gamma^n~(n=1,~2,~3,~\cdots)と定めれば関係式x_{n+3}+px_{n+2}+qx_{n+1}+rx_n=0~(n=1,~2,~3,~\cdots)がなりたつことを証明せよ.
(2) (1)を利用してa_1=3,~a_2=7,~a_3=21,~a_{n+3}-6a_{n+2}+11a_{n+1}-6a_n=0~(n=1,~2,~3,~\cdots)をみたす数列\{a_n\}の一般項a_nを求めよ.

解答

東京医科歯科大でも出題されています。

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ