連立漸化式

2016年9月19日2019年2月27日

まずは係数対称型から。

１．B (三重大)
$\{a_n\},~\{b_n\}$ を次のように定められた正の数の数列とする．
$a_1=4,~b_1=2,~a_{n+1}=a_n^2b_n,~b_{n+1}=a_nb_n^2~(n=1,~2,~3,~\cdots)$
(1) $\alpha_n,~\beta_n$ を $\alpha_n=\log_2 a_n,~\beta_n=\log_2 b_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ によって定めるとき， $\alpha_n+\beta_n$ を $n$ の式で表せ．
(2) $1 \cdot 3+2 \cdot 3^2+3 \cdot 3^3+\cdots\cdots+n \cdot 3^n=\dfrac{2n-1}{4}3^{n+1}+\dfrac{3}{4}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ が成り立つことを示せ．
(3) $\log_2(a_1a_2^2a_3^3 \cdots a_n^n)$ を求めよ．

→解答

次に係数非対称型。

２．B (筑波大)
自然数の数列 $\{a_n\},~\{b_n\}$ は
$(5+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$
を満たすものとする．
(1) $\sqrt{2}$ は無理数であることを示せ．
(2) $a_{n+1},~b_{n+1}$ を $a_n,~b_n$ を用いて表せ．
(3) すべての自然数 $n$ に対して $a_{n+1}+pb_{n+1}=q(a_n+pb_n)$ が成り立つような定数 $p,~q$ を2組求めよ．
(4) $a_n,~b_n$ を $n$ を用いて表せ．

→解答

問題の誘導通りに解く方法の他に、3項間漸化式に落とし込んで解く方法もあります。

ペル方程式に関する連立漸化式の問題は２のように解くのではなく、次のようにして解くのが一般的です。

３．B (南山大)
$n=1,~2,~3,~\cdots$ に対して， $(1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}$ が成立するように，有理数の数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられている．
(1) $a_{n+1}$ と $b_{n+1}$ を， $a_n$ と $b_n$ で表せ．
(2) $n=1,~2,~3,~\cdots$ に対して， $(1-\sqrt{2})^n=a_n-b_n\sqrt{2}$ が成立することを数学的帰納法で証明せよ．
(3) $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項をそれぞれ求めよ．