連立漸化式

2019年2月27日

まずは係数対称型から。

1.B (三重大)
\{a_n\},~\{b_n\}を次のように定められた正の数の数列とする.
a_1=4,~b_1=2,~a_{n+1}=a_n^2b_n,~b_{n+1}=a_nb_n^2~(n=1,~2,~3,~\cdots)
(1) \alpha_n,~\beta_n\alpha_n=\log_2 a_n,~\beta_n=\log_2 b_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)によって定めるとき,\alpha_n+\beta_nnの式で表せ.
(2) 1 \cdot 3+2 \cdot 3^2+3 \cdot 3^3+\cdots\cdots+n \cdot 3^n=\dfrac{2n-1}{4}3^{n+1}+\dfrac{3}{4}~(n=1,~2,~3,~\cdots)が成り立つことを示せ.
(3) \log_2(a_1a_2^2a_3^3 \cdots a_n^n)を求めよ.

解答

次に係数非対称型。

2.B (筑波大)
自然数の数列\{a_n\},~\{b_n\}
(5+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}~(n=1,~2,~3,~\cdots)
を満たすものとする.
(1) \sqrt{2}は無理数であることを示せ.
(2) a_{n+1},~b_{n+1}a_n,~b_nを用いて表せ.
(3) すべての自然数nに対してa_{n+1}+pb_{n+1}=q(a_n+pb_n)が成り立つような定数p,~qを2組求めよ.
(4) a_n,~b_nnを用いて表せ.

解答

問題の誘導通りに解く方法の他に、3項間漸化式に落とし込んで解く方法もあります。

ペル方程式に関する連立漸化式の問題は2のように解くのではなく、次のようにして解くのが一般的です。

3.B (南山大)
n=1,~2,~3,~\cdotsに対して,(1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}が成立するように,有理数の数列\{a_n\}\{b_n\}が与えられている.
(1) a_{n+1}b_{n+1}を,a_nb_nで表せ.
(2) n=1,~2,~3,~\cdotsに対して,(1-\sqrt{2})^n=a_n-b_n\sqrt{2}が成立することを数学的帰納法で証明せよ.
(3) \{a_n\}\{b_n\}の一般項をそれぞれ求めよ.

解答

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