ペル方程式

2019年2月27日

ペル方程式の解についての問題を2つ。

1.B (三重大)
(1) p,~q,~r,~sを整数とする.このとき,p+q\sqrt{2}=r+s\sqrt{2}が成り立つならば,p=rかつq=sとなることを示せ.ここで\sqrt{2}が無理数であることは使ってよい.
(2) 自然数nに対し,(3+2\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}を満たす整数a_n,~b_nが存在することを数学的帰納法により示せ.
(3) a_n,~b_nを(2)のものとする.このとき,すべての自然数nについて(x,y)=(a_n,b_n)は方程式x^2-2y^2=1の解であることを数学的帰納法により示せ.

解答

2.C (名古屋大)
自然数nに対して,a_nb_n(3+2\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}をみたす自然数とする.このとき,
(1) n \geqq 2のとき,a_nおよびb_na_{n-1}b_{n-1}を用いて表せ.
(2) a_n^2-2b_n^2を求めよ.
(3) (2)を用いて,\sqrt{2}を誤差\dfrac{1}{10000}未満で近似する有理数を1つ求めよ.

解答

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