帰納法型1

2019年1月10日

漸化式はいつでも初等的に(等差、等比、階差数列を利用して)解けるわけではありません。まずは一般項を予想して、その予想が正しいことを数学的帰納法で示すパターンの問題を解いてみましょう。

1.(三重大)
cを定数として数列\{a_n\}を次の条件によって定める.
a_1=c+1,~a_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}a_n+1~(n=1,~2,~3,~\cdots)
(1) a_2,~a_3,~a_4を求めよ.また,一般項a_nの形を推定し,その推定が正しいことを証明せよ.
(2) c=324のとき,a_nの値が自然数となるようなnをすべて求めよ.

解答

次は、解こうと思えば解けますが、解き方が誘導されていなかったり、思いつかない場合なども予想して数学的帰納法は有効です。

2.(広島県立大)
次の条件によって定められる数列\{a_n\}がある.
a_1=-1,~a_{n+1}=\dfrac{5a_n+9}{-a_n+11}~(n=1,~2,~3,~\cdots)
(1) a_2,~a_3,~a_4を求めよ.
(2) 一般項a_nを推測し,その結果を数学的帰納法によって証明せよ.
(3) a_n<3を示せ.
(4) a_n<a_{n+1}を示せ.
(5) a_nが自然数となるnをすべて求めよ.

解答

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