帰納法型2

2019年1月10日

2段階帰納法によって予想が正しいことを示す問題を2つ。

1.(学習院大)
a_1=1,~a_2=-\dfrac{1}{2},~(n+3)(n+2)a_{n+2}+(n+2)(n+1)a_{n+1}-na_n=0~(n \geqq 1)という関係で定められる数列a_1,~a_2,~a_3,~\cdotsについて
(1) a_3,~a_4,~a_5を求めよ.
(2) 一般項a_nを数学的帰納法により求めよ.

解答

2.(埼玉大)
実数aを超えない最大の整数を記号[a]で表すことにする.数列\{a_n\}a_1=-4,~a_2=2,~a_n=\left[\dfrac{a_{n-1}+a_{n-2}+3}{2}\right]~(n \geqq 3)によって定める.
(1) a_3,~a_4,~a_5,~a_6を求めよ.
(2) n \geqq 7のときa_nを推定し,その推定した結果が正しいことを証明せよ.

解答

応用問題を1つやってみましょう。

3.(千葉大)
a_1=1,~a_2=2とする.n \geqq 3に対してa_nは2次方程式x^2-2a_{n-1}x-4a_{n-2}=0の大きい方の解の整数部分(小数点以下を切り捨てたもの)とする.
(1) a_3,~a_4を求めよ.
(2) 一般項a_nを予想し,それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ.

解答

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