ニュートン法

2018年11月23日

ニュートン法の問題を2つ。コンピュータは無限を扱えません。この問題のように有限回の操作(アルゴリズム)を繰り返して、値の近似値を求めています。

1.(青山学院大)
関数f(x)=x^2-2を用いて数列を次のように定める.まず,a_1=2としてf(x)x=a_1における接線がx軸と交わる点のx座標をa_2とする.このときa_2=(~~~~~)である.以下同様にして,x=a_nにおけるf(x)の接線がx軸と交わる点のx座標をa_{n+1}とする.f(x)x=a_nにおける接線の方程式はy=(~~~~~)と表される.これから,a_{n+1}a_nを用いてa_{n+1}=(~~~~~)と表される.

解答

この問題の続きです。出てきた数値と求めたい数値との誤差の問題です。

2.(神戸大)
a_1=2,~a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2}+\dfrac{1}{a_n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)とする.このとき,次の各問いに答えよ.
(1) \sqrt{2}<a_{n+1}<a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)を示せ.
(2) a_{n+1}-\sqrt{2}<\dfrac{(a_n-\sqrt{2})^2}{2}~(n=1,~2,~3,~\cdots)を示せ.
(3) |a_5-\sqrt{2}|<10^{-10}を示せ.ただし,1.41<\sqrt{2}<1.42を用いてよい.

解答

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ