回転型

2016年9月19日2019年1月10日

次は回転型の漸化式です。これも循環しますが原理は回転です。理系の人は複素数平面を使って漸化式が複素数平面上でどのような変換になっているかを考えてみて下さい。当然行列でもできます。

１．(信州大)
数列 $\{a_n\},~\{b_n\}$ が次のように定められている．
$a_1=\dfrac{\sqrt{3}}{2},~b_1=\dfrac{1}{2}\\ a_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_n+\dfrac{\sqrt{3}}{2}b_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)\\ b_{n+1}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}a_n+\dfrac{1}{2}b_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)$
(1) $a_n^2+b_n^2$ を求めよ．
(2) $a_{n+3}$ と $a_n$ の関係式および $b_{n+3}$ と $b_n$ の関係式をそれぞれ求めよ．
(3) $a_n,~b_n$ を求めよ．

→解答

次に相似拡大＋回転型

２．(島根大)
数列 $\{a_n\},~\{b_n\}$ を
$a_1=1,~b_1=0,~a_{n+1}=\dfrac{1}{4}a_n-\dfrac{\sqrt{3}}{4}b_n,~b_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a_n+\dfrac{1}{4}b_n$
によって定め，座標 $(a_n,b_n)$ である点を $\mbox{C}_n$ とする．原点をOとするとき，
(1) $\overrightarrow{\mbox{OC}_n}$ の大きさ $|\overrightarrow{\mbox{OC}_n}|$ を， $n$ を用いて表せ．
(2) $\overrightarrow{\mbox{OC}_n}$ と $\overrightarrow{\mbox{OC}_{n+1}}$ のなす角を求めよ．
(3) $S_n$ を $\bigtriangleup\mbox{O}\mbox{C}_n\mbox{C}_{n+1}$ の面積とするとき， $S_n \leqq \dfrac{1}{2^{2013}}$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ．