置換型

2019年1月10日

次は第n項を三角関数などで置き換え何とか解こうとするタイプです。

1.(福井大)
数列\{a_n\}について,a_1=1,~a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)が成り立つとする.
(1) すべてのnについて,0<a_n<2が成り立つことを,nに関する数学的帰納法で示せ.
(2) a_n=2\cos\theta_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)とおくとき,\theta_1を求め,\theta_{n+1}\theta_nを用いて表せ.ただし,0^{\circ}<\theta_n<90^{\circ}~(n=1,~2,~3,~\cdots)とする.
(3) 一般項a_nを求めよ.

解答

2.(和歌山大)
次の条件で定義される数列\{a_n\}がある.
a_1=\sin^2\theta,~a_{n+1}=4a_n(1-a_n)
ただし,\theta0^{\circ}<\theta<90^{\circ}をみたす定数である.このとき,
(1) 数列\{a_n\}の一般項は,a_n=\sin^2(2^{n-1}\theta)で表されることを数学的帰納法によって証明せよ.
(2) a_nnによらず一定になるように,\thetaの値を定めよ.

解答

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