実験型

2016年9月19日2019年1月15日

次は、実験して規則を見出すタイプです。難関校の入試では何でも解こうとするのではなく、初等的解法で解けないときは実験して活路を見出すという姿勢が大切です。初等的に解ける方がむしろ少ないかもしれません。

１．(東京水産大)
数列 $\{a_n\}~(n=0,~1,~2,~\cdots)$ は次の性質(A), (B)を満たすとする．
(A) $a_0=4.2$
(B) $k=0,~1,~2,~\cdots$ に対して，
$a_k<4.5$ ならば $a_{k+1}=a_k+0.5$
$4.5 \leqq a_k$ ならば $a_{k+1}=0.9a_k$
(1) $a_1,~a_2$ を求めよ．
(2) $n$ が奇数ならば $4.5<a_n<5$ が成り立ち， $n$ が偶数ならば $4<a_n<4.5$ が成り立つことを示せ．
(3) すべての $n$ に対して $a_n<a_{n+2}$ が成り立つことを示せ．

→解答

２．(早稲田大)
数列 $\{a_n\}$ を次のように定める．
(ⅰ) $a_1=0$
(ⅱ) $n=2,~3,~4,~\cdots$ に対し，
$a_{n-1} \geqq n$ のとき， $a_n=a_{n-1}-n$
$a_{n-1}<n$ のとき， $a_n=a_{n-1}+n$
(1) $a_7$ を求めよ．
(2) $a_k=k$ のとき，条件 $m>k,~a_m=m$ を満たす最小の整数 $m$ を $k$ で表せ．
(3) $a_{2011}$ を求めよ．

→解答

３．(早稲田大)
実数 $a$ は $0<a<1$ を満たす．数列 $\{a_n\}$ を次のように定める．
(ⅰ) $a_1=a$
(ⅱ) $n=2,~3,~4,~\cdots$ に対しては，
$a_{n-1} \leqq 1$ のとき　 $a_n=\dfrac{1}{a_{n-1}}$ ,
$a_{n-1}>1$ のとき　 $a_n=a_{n-1}-1$
(1) $a=\sqrt{2}-1$ のとき， $a_{125}$ の値を求めよ．
(2) $a_1=a_6$ となるような $a$ の値をすべて求めよ．