実験型

2019年1月15日

次は、実験して規則を見出すタイプです。難関校の入試では何でも解こうとするのではなく、初等的解法で解けないときは実験して活路を見出すという姿勢が大切です。初等的に解ける方がむしろ少ないかもしれません。

1.(東京水産大)
数列\{a_n\}~(n=0,~1,~2,~\cdots)は次の性質(A), (B)を満たすとする.
(A) a_0=4.2
(B) k=0,~1,~2,~\cdotsに対して,
a_k<4.5ならばa_{k+1}=a_k+0.5
4.5 \leqq a_kならばa_{k+1}=0.9a_k
(1) a_1,~a_2を求めよ.
(2) nが奇数ならば4.5<a_n<5が成り立ち,nが偶数ならば4<a_n<4.5が成り立つことを示せ.
(3) すべてのnに対してa_n<a_{n+2}が成り立つことを示せ.

解答

2.(早稲田大)
数列\{a_n\}を次のように定める.
(ⅰ) a_1=0
(ⅱ) n=2,~3,~4,~\cdotsに対し,
a_{n-1} \geqq nのとき,a_n=a_{n-1}-n
a_{n-1}<nのとき,a_n=a_{n-1}+n
(1) a_7を求めよ.
(2) a_k=kのとき,条件m>k,~a_m=mを満たす最小の整数mkで表せ.
(3) a_{2011}を求めよ.

解答

3.(早稲田大)
実数a0<a<1を満たす.数列\{a_n\}を次のように定める.
(ⅰ) a_1=a
(ⅱ) n=2,~3,~4,~\cdotsに対しては,
a_{n-1} \leqq 1のとき a_n=\dfrac{1}{a_{n-1}},
a_{n-1}>1のとき a_n=a_{n-1}-1
(1) a=\sqrt{2}-1のとき,a_{125}の値を求めよ.
(2) a_1=a_6となるようなaの値をすべて求めよ.

解答

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