漸化式の応用１　2項間

2016年9月21日2016年9月22日

漸化式の応用です。まずは、典型問題から。

１．(滋賀大)
平面上に，どの3本の直線も1点を共有しない， $n$ 本の直線がある．
(1) どの2本の直線も平行でないとき，平面が $n$ 本の直線によって分けられる部分の個数 $a_n$ を $n$ で表せ．
(2) $n$ 本の直線の中に，2本だけ平行なものがあるとき，平面が $n$ 本の直線によって分けられる部分の個数 $b_n$ を $n$ で表せ．ただし， $n \geqq 2$ とする．

次に、整数の分割の問題。

２．(慶応大)
正の整数 $n$ を1個以上の正の整数の和で表すことを考える．例えば， $n=3$ ならば $3,~1+2,~1+1+1$ の3通りの表し方が可能である．この例のように和に現れる正の整数の順序は考慮せずに数え上げるものとし， $k$ 個以下の正の整数の和による正の整数 $n$ の表し方の総数を $p_k(n)$ とする．
(1) $p_3(7)=(~~~~~)$ であり， $p_4(7)-p_3(7)=(~~~~~)$ である．
(2) $p_2(n)$ は(　　)を超えない最大の整数である．
(3) $1<k<n$ とするとき， $p_k(n)=p_{k-1}(n)+p_k((~~~~~))$ が成り立つ．
(4) 以上の結果と $p_3(3)=3$ であることを用いて $p_3(6n)$ を $n$ の式で表せば， $p_3(6n)=(~~~~~)$ となる．

次に、食塩水。

３．(東京理科大)
容器Aには3％の食塩水が300g，容器Bには6％の食塩水が300g入れてある．A, Bからそれぞれ100gの食塩水をとってAの分をBに，Bの分をAに入れる．このような操作を $n$ 回繰り返して行った結果，Aは $a_n$ ％の食塩水になった．
(1) $a_n$ と $a_{n-1}~(n=2,~3,~\cdots)$ の関係を表す式は $a_n=pa_{n-1}+q$ となる． $p,~q$ の値を求めよ．
(2) $a_n~(n=1,~2,~\cdots)$ は， $a_n=c-dr^{n-1}$ と表される． $r,~c,~d$ の値を求めよ．

最後にハノイの塔の問題。

４．(慶応大)
同じ大きさの箱が横に3個並べてあり，その中の1つには，1から $n~(n \geqq 1)$ まで相異なる番号にのついた $n$ 枚の札が入れてある．次の操作を繰り返すことによって，別の1つの箱に $n$ 枚とも移したい
[操作] 1つの箱の中で，1番小さい番号のついた札1枚を別の箱に移す．ただし，移そうとする札の番号より小さい番号の札が入っている箱には移すことはできない．
いま， $n$ 枚の札全部を別の1つの箱に移し変えるために必要な操作の最小数を $a_n$ とすれば， $a_1=(~~~~~),~a_2=(~~~~~),~a_3=(~~~~~)$ である． $a_n$ と $a_{n-1}~(n \geqq 2)$ との間には関係式 $a_n=(~~~~~)a_{n-1}+(~~~~~)$ が成り立つ．よって， $a_n=(~~~~~)$ である．

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