漸化式の応用2 図形問題

2017年4月6日

漸化式の図形問題への応用です。

1.(大阪大)
y軸上の正の部分に中心をもち,放物線y=x^2と2点で接する円の列\mbox{O}_1,~\mbox{O}_2,~\cdots,~\mbox{O}_nを次の条件をみたすように定める.
(1) \mbox{O}_1の半径は1である.
(2) n \geqq 2のとき,\mbox{O}_n\mbox{O}_{n-1}に外接し,\mbox{O}_nの中心のy座標は\mbox{O}_{n-1}の中心のy座標より大きい.このとき,円\mbox{O}_nの方程式を求めよ.

次の2問はほぼ同じ設定ですが、ヒントがあるものとないものです。

2.(慶応大)
x^2+(y-1)^2=1と外接し,x軸と接する円で中心のx座標が正であるものを条件Pを満たす円ということにする.
(1) 条件Pを満たす円の中心は,曲線y=(~~~~~)~(x>0)上にある.また,条件Pを満たす半径9の円をC_1とし,その中心のx座標をa_1とすると,a_1=(~~~~~)である.
(2) 条件Pを満たし円C_1に外接する円をC_2とする.また,n=3,~4,~5,~\cdotsに対し,条件Pを満たし,円C_{n-1}に外接し,かつ円C_{n-2}と異なる円をC_nとする.円C_nの中心のx座標をa_nとするとき,自然数nに対しa_{n+1}a_nを用いて表せ.
(3) (1), (2)で定めた数列\{a_n\}の一般項を求めよ.

3.(早稲田大)
座標平面において,C_0は点(0,1)を中心とする半径1の円,C_1は点(2,1)を中心とする半径1の円である.n=1,~2,~3,~\cdotsに対して,円C_{n+1}を次の2つの条件を満たすように定める.
(ⅰ) C_{n+1}C_0C_nに外接し,かつx軸に接する.
(ⅱ) C_{n+1}の半径はC_nの半径より小さい.
C_nの中心を\mbox{P}_nとするとき,
(1) \mbox{P}_3の座標を求めよ.
(2) \mbox{P}_nの座標を求めよ.

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