漸化式の応用２　図形問題

2016年9月21日2017年4月6日

漸化式の図形問題への応用です。

１．(大阪大)
$y$ 軸上の正の部分に中心をもち，放物線 $y=x^2$ と2点で接する円の列 $\mbox{O}_1,~\mbox{O}_2,~\cdots,~\mbox{O}_n$ を次の条件をみたすように定める．
(1) $\mbox{O}_1$ の半径は1である．
(2) $n \geqq 2$ のとき， $\mbox{O}_n$ は $\mbox{O}_{n-1}$ に外接し， $\mbox{O}_n$ の中心の $y$ 座標は $\mbox{O}_{n-1}$ の中心の $y$ 座標より大きい．このとき，円 $\mbox{O}_n$ の方程式を求めよ．

次の2問はほぼ同じ設定ですが、ヒントがあるものとないものです。

２．(慶応大)
円 $x^2+(y-1)^2=1$ と外接し， $x$ 軸と接する円で中心の $x$ 座標が正であるものを条件Pを満たす円ということにする．
(1) 条件Pを満たす円の中心は，曲線 $y=(~~~~~)~(x>0)$ 上にある．また，条件Pを満たす半径9の円を $C_1$ とし，その中心の $x$ 座標を $a_1$ とすると， $a_1=(~~~~~)$ である．
(2) 条件Pを満たし円 $C_1$ に外接する円を $C_2$ とする．また， $n=3,~4,~5,~\cdots$ に対し，条件Pを満たし，円 $C_{n-1}$ に外接し，かつ円 $C_{n-2}$ と異なる円を $C_n$ とする．円 $C_n$ の中心の $x$ 座標を $a_n$ とするとき，自然数 $n$ に対し $a_{n+1}$ を $a_n$ を用いて表せ．
(3) (1), (2)で定めた数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．

３．(早稲田大)
座標平面において， $C_0$ は点 $(0,1)$ を中心とする半径1の円， $C_1$ は点 $(2,1)$ を中心とする半径1の円である． $n=1,~2,~3,~\cdots$ に対して，円 $C_{n+1}$ を次の2つの条件を満たすように定める．
(ⅰ) $C_{n+1}$ は $C_0$ と $C_n$ に外接し，かつ $x$ 軸に接する．
(ⅱ) $C_{n+1}$ の半径は $C_n$ の半径より小さい．
$C_n$ の中心を $\mbox{P}_n$ とするとき，
(1) $\mbox{P}_3$ の座標を求めよ．
(2) $\mbox{P}_n$ の座標を求めよ．