確率漸化式の基本

2016年9月21日

確率漸化式の基本問題を3つ。

１．(日本大)
A君は日記をなるべくつけるようにした．日記をつけた日の翌日は確率 $\dfrac{2}{3}$ で日記をつけ，日記をつけなかった日の翌日は確率 $\dfrac{5}{6}$ で日記をつけているという．初日に日記をつけたとして，第 $n$ 日に日記をつける確率を $p_n$ とする．
(1) $p_{n+1}=(~~~~~)-(~~~~~)p_n$ である．
(2) $p_n$ を求めよ．

２．(慶応大)
さいころを続けて $n$ 回投げるとき，6の約数の目が奇数回出る確率を $p(n)$ とする．例えば， $p(1)=\dfrac{2}{3},~p(2)=(~~~~~)$ である．
$n \geqq 2$ のとき $p(n)$ と $p(n-1)$ の間には $p(n)=(~~~~~)$ という関係式が成り立つ．これより $n$ を用いて $p(n)$ を表すと $p(n)=\dfrac{(~~~~~)}{2}$ である．

2とほぼ同じ設定ですが、今度は連立漸化式で解いてみましょう。基本的には置く文字の数は少なくするべきです。

３．(神奈川大)
1つのさいころを $n$ 回( $n \geqq 1$ )投げたとき，1の目が出る回数が偶数回である確率を $p_n$ ，奇数回である確率を $q_n$ とする．ただし，0回は偶数回と考える．
(1) $p_{n+1},~q_{n+1}$ を $p_n,~q_n$ で表せ．
(2) $p_n-q_n$ を $n$ で表せ．
(3) $p_n,~q_n$ を $n$ で表せ．