確率漸化式の基本

確率漸化式の基本問題を3つ。

1.(日本大)
A君は日記をなるべくつけるようにした.日記をつけた日の翌日は確率\dfrac{2}{3}で日記をつけ,日記をつけなかった日の翌日は確率\dfrac{5}{6}で日記をつけているという.初日に日記をつけたとして,第n日に日記をつける確率をp_nとする.
(1) p_{n+1}=(~~~~~)-(~~~~~)p_nである.
(2) p_nを求めよ.

2.(慶応大)
さいころを続けてn回投げるとき,6の約数の目が奇数回出る確率をp(n)とする.例えば,p(1)=\dfrac{2}{3},~p(2)=(~~~~~)である.
n \geqq 2のときp(n)p(n-1)の間にはp(n)=(~~~~~)という関係式が成り立つ.これよりnを用いてp(n)を表すとp(n)=\dfrac{(~~~~~)}{2}である.

2とほぼ同じ設定ですが、今度は連立漸化式で解いてみましょう。基本的には置く文字の数は少なくするべきです。

3.(神奈川大)
1つのさいころをn回(n \geqq 1)投げたとき,1の目が出る回数が偶数回である確率をp_n,奇数回である確率をq_nとする.ただし,0回は偶数回と考える.
(1) p_{n+1},~q_{n+1}p_n,~q_nで表せ.
(2) p_n-q_nnで表せ.
(3) p_n,~q_nnで表せ.

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