さいころの目の和、目の積

2016年9月21日2017年4月5日

さいころの目の和や積に関する問題をいくつか。

１．(岡山県立大)
袋の中に1から7までの数字が1つずつ書いてある7個の球がある．この袋から1個の球を無作為に取り出し，その数を記録してもとの袋に戻す．これを $n$ 回くり返したとき，記録した $n$ 個の数字の和が偶数である確率を $p_n$ ，記録した $n$ 個の数の積が3の倍数である確率を $q_n$ とする．ただし， $n=1$ のとき， $p_1,~q_1$ は，取り出した1個の球に書かれている数がそれぞれ偶数である確率，3の倍数である確率とみなす．
(1) $p_n$ を求めよ．
(2) $q_n$ を求めよ．

２．(京都大)
さいころを $n$ 回続けて投げるとき， $k$ 回目に出る目の数を $X_k$ とし， $Y_n=X_1+X_2+\cdots+X_n$ が7で割り切れる確率を $p_n$ とする．
(1) $p_n$ を $p_{n-1}$ を用いて表せ．
(2) $p_n$ を求めよ．

→解答

３．(千葉大)
さいころを $n$ 回 $(n \geqq 2)$ 投げ， $k$ 回目 $(1 \leqq k \leqq n)$ に出る目を $X_k$ とする．
(1) 積 $X_1X_2$ が18以下である確率を求めよ．
(2) 積 $X_1X_2\cdots X_n$ が偶数である確率を求めよ．
(3) 積 $X_1X_2\cdots X_n$ が4の倍数である確率を求めよ．
(4) 積 $X_1X_2\cdots X_n$ を3で割ったときの余りが1である確率を求めよ．

→解答

４．(大阪大)
さいころを繰り返し投げ， $n$ 回目に出た目を $X_n$ とする． $n$ 回目までに出た目の積 $X_1X_2 \cdots X_n$ を $T_n$ で表す． $T_n$ を5で割った余りが1である確率を $p_n$ とし，余りが2, 3, 4のいずれかである確率を $q_n$ とする．
(1) $p_n+q_n$ を求めよ．
(2) $p_{n+1}$ を $p_n$ と $n$ を用いて表せ．
(3) $r_n=\left(\dfrac{6}{5}\right)^np_n$ とおいて $r_n$ を求めることにより， $p_n$ を $n$ の式で表せ．

５．(一橋大)
サイコロを $n$ 回投げ， $k$ 回目に出た目を $a_k$ とする．また， $s_n$ を $s_n=\sum_{k=1}^{n} 10^{n-k}a_k$ で定める．
(1) $s_n$ が4で割り切れる確率を求めよ．
(2) $s_n$ が6で割り切れる確率を求めよ．
(3) $s_n$ が7で割り切れる確率を求めよ．

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