さいころの目の和、目の積

2017年4月5日

さいころの目の和や積に関する問題をいくつか。

1.(岡山県立大)
袋の中に1から7までの数字が1つずつ書いてある7個の球がある.この袋から1個の球を無作為に取り出し,その数を記録してもとの袋に戻す.これをn回くり返したとき,記録したn個の数字の和が偶数である確率をp_n,記録したn個の数の積が3の倍数である確率をq_nとする.ただし,n=1のとき,p_1,~q_1は,取り出した1個の球に書かれている数がそれぞれ偶数である確率,3の倍数である確率とみなす.
(1) p_nを求めよ.
(2) q_nを求めよ.

2.(京都大)
さいころをn回続けて投げるとき,k回目に出る目の数をX_kとし,Y_n=X_1+X_2+\cdots+X_nが7で割り切れる確率をp_nとする.
(1) p_np_{n-1}を用いて表せ.
(2) p_nを求めよ.

解答

3.(千葉大)
さいころをn(n \geqq 2)投げ,k回目(1 \leqq k \leqq n)に出る目をX_kとする.
(1) 積X_1X_2が18以下である確率を求めよ.
(2) 積X_1X_2\cdots X_nが偶数である確率を求めよ.
(3) 積X_1X_2\cdots X_nが4の倍数である確率を求めよ.
(4) 積X_1X_2\cdots X_nを3で割ったときの余りが1である確率を求めよ.

解答

4.(大阪大)
さいころを繰り返し投げ,n回目に出た目をX_nとする.n回目までに出た目の積X_1X_2 \cdots X_nT_nで表す.T_nを5で割った余りが1である確率をp_nとし,余りが2, 3, 4のいずれかである確率をq_nとする.
(1) p_n+q_nを求めよ.
(2) p_{n+1}p_nnを用いて表せ.
(3) r_n=\left(\dfrac{6}{5}\right)^np_nとおいてr_nを求めることにより,p_nnの式で表せ.

5.(一橋大)
サイコロをn回投げ,k回目に出た目をa_kとする.また,s_ns_n=\sum_{k=1}^{n} 10^{n-k}a_kで定める.
(1) s_nが4で割り切れる確率を求めよ.
(2) s_nが6で割り切れる確率を求めよ.
(3) s_nが7で割り切れる確率を求めよ.

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