点の移動1

点の移動の問題をいくつか。

1.(大阪市立大)
三角形ABCの頂点A, B, Cが反時計回りに並んでいるものとする.点Pはいずれかの頂点にあり,1枚の硬貨を1回投げるごとに,表が出れば時計回りに隣の頂点へ,裏が出れば反時計回りに隣の頂点へ,移動するものとする.点Pは最初,頂点Aの位置にあったとする.硬貨をn回投げたとき,点Pが頂点Aの位置に戻る確率をa_nで表す.
(1) n \geqq 2に対し,a_na_{n-1}を用いて表せ.
(2) a_nを求めよ.

2.(京都大)
2つの粒子が時刻0において\bigtriangleupABCの頂点Aに位置している.これらの粒子は独立に運動し,それぞれ1秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする.たとえば,ある時刻で点Cにいる粒子は,その1秒後には点Aまたは点Bにそれぞれ\dfrac{1}{2}の確率で移動する.この2つの粒子が,時刻0のn秒後に同じ点にいる確率p(n)を求めよ.

3.(工学院大)
四面体OABCの頂点を移動する点Pがある.点Pは1つの頂点に達してから1秒後に,他の3つの頂点のいずれかにおのおの確率\dfrac{1}{3}で移動する.頂点Oにいた点Pがそれからn秒後に頂点Aにいる確率をp_nとする.
(1) p_{n+1}p_nを用いて表せ.
(2) p_nを求めよ.

4.(京都大)
四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDを考える.点Pは時刻0では頂点Oにあり,1秒ごとに次の規則に従ってこの四角錐の5つの頂点のいずれかに移動する.
規則:点Pのあった頂点と1つの辺によって結ばれる頂点の1つに,等しい確率で移動する.
このとき,n秒後に点Pが頂点O, Aにある確率をそれぞれ求めよ.

5.(和歌山県立医大)
正方形の頂点を順にA, B, C, Dとし,この順を正の向きとし,逆を負の向きとする.動点Pは常に頂点にあり,1秒ごとに次の頂点に移っていく.このとき,正の向きに次の頂点に移る確率は\dfrac{2}{3}であり,逆の負の向きに次の頂点に移る確率は\dfrac{1}{3}とする.また,動点Pは最初頂点Aにあるものとする.
(1) 2秒後に動点Pが頂点A, Cにある確率をそれぞれ求めよ.
(2) 3秒後に動点Pが頂点B, Dにある確率をそれぞれ求めよ.
(3) 4以上の自然数nに対して,n秒後に動点Pが各頂点にある確率をそれぞれ求めよ.

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