ゲーム

2016年12月2日

その他よく出題されるものをいくつか。

1.(東京大)
さいころの1の面を上面にして置いてある.向かいあった1組の面の中心を通る直線のまわりに90°回転する操作をくり返すことにより,さいころの置きかたを変えていく.ただし,各回ごとに,回転軸および回転する向きの選びかたは,それぞれ同様に確からしいとする.第n回目の操作のあとに1の面が上面にある確率をp_n,側面のどこかにある確率をq_n,底面にある確率をr_nとする.
(1) p_1,~q_1,~r_1を求めよ.
(2) p_n,~q_n,~r_np_{n-1},~q_{n-1},~r_{n-1}で表せ.
(3) p={\displaystyle\lim_{n \to \infty}}p_n,~q={\displaystyle\lim_{n \to \infty}}q_n,~r={\displaystyle\lim_{n \to \infty}}r_nを求めよ.

最近では一橋大で類題が出ています。

次にじゃんけん。

2.(名古屋大)
3人でジャンケンをする.各人はグー,チョキ,パーをそれぞれ\dfrac{1}{3}の確率で出すものとする.負けた人は脱落し,残った人で次回のジャンケンを行い(アイコのときは誰も脱落しない),勝ち残りが1人になるまでジャンケンを続ける.このとき各回の試行は独立とする.3人でジャンケンを始め,ジャンケンがn回目まで続いてn回目終了時に2人が残っている確率をp_n,3人が残っている確率をq_nとおく.
(1) p_1,~q_1を求めよ.
(2) p_n,~q_nが満たす漸化式を導き,p_n,~q_nの一般項を求めよ.
(3) ちょうどn回目で1人の勝ち残りが決まる確率を求めよ.

3.(京都大)
A, B, Cの3人が色のついた札を1枚ずつ持っている.はじめに,A, B, Cの持っている札の色はそれぞれ赤,白,青である.
Aがさいころを投げて,3の倍数の目が出たらAはBと持っている札を交換し,その他の目が出たらAはCと札を交換する.
この試行をn回繰り返した後に,赤い札をA, B, Cが持っている確率を,それぞれa_n,~b_n,~c_nとする.
(1) n \geqq 2のとき,a_n,~b_n,~c_na_{n-1},~b_{n-1},~c_{n-1}で表せ.
(2) a_nを求めよ.

名古屋大に類題が出ています。

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