漸化式と整数１

2016年9月22日

漸化式と整数の問題です。まずは、一般項が分かる場合について。

１．(茨城大)
自然数 $n$ に対して， $a_n=2^n+3^n+1$ とおくとき，
(1) $a_{n+6}-a_n$ は7で割り切れることを示せ．
(2) $n$ が6の倍数のとき， $a_n$ は7で割り切れないことを示せ．
(3) $a_n$ が7で割り切れるための $n$ の条件を求めよ．

２．(中央大)
$a_1=2,~a_k=2a_{k-1}+k-1~(k \geqq 2)$ によって整数の列 $\{a_k\}$ を定義する．
(1) 各 $k \geqq 1$ に対して $b_k=a_{k+1}-a_k$ とおく． $b_k$ を $k$ を用いて表せ．
(2) $a_k$ を $k$ を用いて表せ．
(3) 各 $k \geqq 1$ に対して $a_{k+6}-a_k$ が6の倍数であることを示せ．
(4) $a_k$ が6で割り切れるための $k$ の条件を求めよ．

次は、一般項は具体的には求めませんが、１、２と同じように解けます。

３．(横浜国立大)
数列 $\{a_n\},~\{b_n\},~\{c_n\}$ を $a_1=3,~b_1=8,~c_1=24$ と関係式 $a_{n+1}=2a_n+b_n,~b_{n+1}=4b_n+c_n,~c_{n+1}=8c_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ で定める．
(1) $b_n$ を $n$ の式で表せ．
(2) $a_{n+3}-a_n$ は7で割り切れることを示し， $a_n$ が7で割り切れるための $n$ の条件を求めよ．

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Posted by 山彦のフドウ

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