漸化式と整数1

漸化式と整数の問題です。まずは、一般項が分かる場合について。

1.(茨城大)
自然数nに対して,a_n=2^n+3^n+1とおくとき,
(1) a_{n+6}-a_nは7で割り切れることを示せ.
(2) nが6の倍数のとき,a_nは7で割り切れないことを示せ.
(3) a_nが7で割り切れるためのnの条件を求めよ.

2.(中央大)
a_1=2,~a_k=2a_{k-1}+k-1~(k \geqq 2)によって整数の列\{a_k\}を定義する.
(1) 各k \geqq 1に対してb_k=a_{k+1}-a_kとおく.b_kkを用いて表せ.
(2) a_kkを用いて表せ.
(3) 各k \geqq 1に対してa_{k+6}-a_kが6の倍数であることを示せ.
(4) a_kが6で割り切れるためのkの条件を求めよ.

次は、一般項は具体的には求めませんが、1、2と同じように解けます。

3.(横浜国立大)
数列\{a_n\},~\{b_n\},~\{c_n\}a_1=3,~b_1=8,~c_1=24と関係式a_{n+1}=2a_n+b_n,~b_{n+1}=4b_n+c_n,~c_{n+1}=8c_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)で定める.
(1) b_nnの式で表せ.
(2) a_{n+3}-a_nは7で割り切れることを示し,a_nが7で割り切れるためのnの条件を求めよ.

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