漸化式と整数2

次は、一般項が分かっていない場合です。

1.(岡山大)
数列\{a_n\}を,a_1=1,~a_{n+1}=(a_n)^2+1~(n=1,~2,~3,~\cdots)で定める.
(1) a_2,~a_3,~a_4,~a_5,~a_6を求めよ.
(2) 自然数mに対して,a_{3m}は5で割り切れることを証明せよ.

2.(県立広島大)
a_1=1,~a_2=1,~a_{n+2}=7a_{n+1}+a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)
によって定める.
(1) a_{n+3}a_n,~a_{n+1}で表せ.
(2) a_{3n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)が偶数であることを数学的帰納法で証明せよ.
(3) a_{4n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)が3の倍数となることを示せ.

3.(首都大)
2つの数列\{a_n\},~\{b_n\}が次の漸化式で与えられているとする.
\left\{\begin{array}{l} a_1=4,~b_1=3\\ a_{n+1}=4a_n-3b_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)\\ b_{n+1}=3a_n+4b_n~(n=1,~2,~3,~\cdots) \end{array}\right.
(1) a_2,~a_3,~a_4,~b_2,~b_3,~b_4を求めよ.
(2) a_{n+4}-a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots\cdots),~b_{n+4}-b_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)はともに5の倍数であることを証明せよ.
(3) a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)b_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)も5の倍数ではないことを証明せよ.

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