漸化式と整数３

2016年9月22日2017年1月29日

次にフィボナッチ数列の問題を2つ。

１．(大阪府立大)
数列 $\{a_n\}$ を $a_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right\}$ で定める．
(1) $a_2,~a_3,~a_4$ を求めよ．
(2) $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ を示せ．
(3) 任意の自然数 $n$ に対して， $a_n$ は整数であり， $a_{4n}$ は3の倍数であることを示せ．

２．(横浜国立大)
数列 $\{a_n\}$ は $a_1=1,~a_2=1,~a_n a_{n+2}-a_{n+1}^2=(-1)^{n+1}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ により定める．
(1) $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ が成り立つことを証明せよ．
(2) $m$ を自然数とするとき， $a_{6m}$ は8の倍数であることを証明せよ．