漸化式と整数3

2017年1月29日

次にフィボナッチ数列の問題を2つ。

1.(大阪府立大)
数列\{a_n\}a_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right\}で定める.
(1) a_2,~a_3,~a_4を求めよ.
(2) a_{n+2}=a_{n+1}+a_nを示せ.
(3) 任意の自然数nに対して,a_nは整数であり,a_{4n}は3の倍数であることを示せ.

2.(横浜国立大)
数列\{a_n\}a_1=1,~a_2=1,~a_n a_{n+2}-a_{n+1}^2=(-1)^{n+1}~(n=1,~2,~3,~\cdots)により定める.
(1) a_{n+2}=a_{n+1}+a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)が成り立つことを証明せよ.
(2) mを自然数とするとき,a_{6m}は8の倍数であることを証明せよ.

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