漸化式と整数4

次は、余りの循環性の問題。

1.(東京大)
整数からなる数列\{a_n\}を漸化式a_1=1,~a_2=3,~a_{n+2}=3a_{n+1}-7a_n~(n=1,~2,~\cdots)によって定める.
(1) a_nが偶数になることと,nが3の倍数となることとは同値であることを示せ.
(2) a_nが10の倍数となるための条件を(1)と同様の形式で求めよ.

2.(一橋大)
0以上の整数a_1,~a_2が与えられたとき,数列\{a_n\}a_{n+2}=a_{n+1}+6a_nにより定める.
(1) a_1=1,~a_2=2のとき,a_{2010}を10で割った余りを求めよ.
(2) a_2=3a_1のとき,a_{n+4}-a_nは10の倍数であることを示せ.

3.(東京大)
(1) nを正の整数とし,3^nを10で割った余りをa_nとする.a_nを求めよ.
(2) nを正の整数とし,3^nを4で割った余りをb_nとする.b_nを求めよ.
(3) 数列\{x_n\}を次のように定める.
x_1=1,~x_{n+1}=3^{x_n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)
x_{10}を10で割った余りを求めよ.

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