漸化式と整数5

2017年1月29日

最後に、隣接する2つの項が互いに素であることを示す問題。

1.(大阪工業大)
数列\{a_n\}を次のように定義する.
a_1=1,~a_2=1,~a_{n+2}=a_{n+1}+a_n~(n \geqq 1)
この数列の2つの項の最大公約数を求めよう.
(1) a_{12}a_9の最大公約数,a_9a_6の最大公約数を求めよ.
(2) a_{n+2}a_{n+1}がともに整数kの倍数であるとき,a_nkの倍数であることを示せ.
(3) a_{n+1}a_nは互いに素であることを示せ.
(4) a_pa_q~(p>q \geqq 1)がともに整数kの倍数であるとき,a_{p-q}kの倍数である.その理由を次の関係式(証明しなくてよい)と(3)を利用して示せ.
a_p=a_{p-q}a_{q+1}+a_{p-q}a_q
(5) a_{126}=96151855463018422468774568,~a_{78}=8944394323791464である.(4)の性質を用いて,a_{126}a_{78}の最大公約数を求めよ.

関連する問題を2つ。

2.(京都工繊大)
数列a_1,~a_2,~\cdots,~a_n,~\cdotsa_1=a_2=1かつa_{n+1}=a_n+2a_{n-1}~(n \geqq 2)で定義されている.
(1) 次のことを証明せよ.
(イ) a_n~(n \geqq 1)は奇数である.
(ロ) a_n^2-a_{n+1}a_{n-1}=(-2)^{n-1}~(n \geqq 2)
(2) この数列の隣り合う2項は,互いに素(すなわち2項の最大公約数が1)であることを証明せよ.

3.(和歌山県立医大)
自然数の数列\{a_n\}を次のように定める.
a_1=1,~a_2=1,~a_{n+2}=a_{n+1}+6a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)
(1) 自然数nに対し,a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)を満たすような数p,~qを求めることにより,数列\{a_n\}の一般項を求めよ.
(2) 自然数m,~nに対し,a_{m+n+1}=a_{m+1}a_{n+1}+6a_ma_nが成り立つことを証明せよ.
(3) 自然数m,~nに対し,mnで割り切れるとき,a_ma_nで割り切れることを証明せよ.
(4) a_{12}を素因数分解せよ.

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