漸化式と整数５

2016年9月22日2017年1月29日

最後に、隣接する2つの項が互いに素であることを示す問題。

１．(大阪工業大)
数列 $\{a_n\}$ を次のように定義する．
$a_1=1,~a_2=1,~a_{n+2}=a_{n+1}+a_n~(n \geqq 1)$
この数列の2つの項の最大公約数を求めよう．
(1) $a_{12}$ と $a_9$ の最大公約数， $a_9$ と $a_6$ の最大公約数を求めよ．
(2) $a_{n+2}$ と $a_{n+1}$ がともに整数 $k$ の倍数であるとき， $a_n$ も $k$ の倍数であることを示せ．
(3) $a_{n+1}$ と $a_n$ は互いに素であることを示せ．
(4) $a_p$ と $a_q~(p>q \geqq 1)$ がともに整数 $k$ の倍数であるとき， $a_{p-q}$ も $k$ の倍数である．その理由を次の関係式(証明しなくてよい)と(3)を利用して示せ．
$a_p=a_{p-q}a_{q+1}+a_{p-q}a_q$
(5) $a_{126}=96151855463018422468774568,~a_{78}=8944394323791464$ である．(4)の性質を用いて， $a_{126}$ と $a_{78}$ の最大公約数を求めよ．

関連する問題を2つ。

２．(京都工繊大)
数列 $a_1,~a_2,~\cdots,~a_n,~\cdots$ が $a_1=a_2=1$ かつ $a_{n+1}=a_n+2a_{n-1}~(n \geqq 2)$ で定義されている．
(1) 次のことを証明せよ．
(イ) $a_n~(n \geqq 1)$ は奇数である．
(ロ) $a_n^2-a_{n+1}a_{n-1}=(-2)^{n-1}~(n \geqq 2)$
(2) この数列の隣り合う2項は，互いに素(すなわち2項の最大公約数が1)であることを証明せよ．

３．(和歌山県立医大)
自然数の数列 $\{a_n\}$ を次のように定める．
$a_1=1,~a_2=1,~a_{n+2}=a_{n+1}+6a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)$
(1) 自然数 $n$ に対し， $a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)$ を満たすような数 $p,~q$ を求めることにより，数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．
(2) 自然数 $m,~n$ に対し， $a_{m+n+1}=a_{m+1}a_{n+1}+6a_ma_n$ が成り立つことを証明せよ．
(3) 自然数 $m,~n$ に対し， $m$ が $n$ で割り切れるとき， $a_m$ は $a_n$ で割り切れることを証明せよ．
(4) $a_{12}$ を素因数分解せよ．

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