等面四面体1

次の問題はどのように解きますか。

1.(早稲田大)
四面体ABCDは,4つの面のどれも3辺の長さが7, 8, 9の三角形である.この四面体の体積を求めよ.

2.(京都大)
\bigtriangleupABCは鋭角三角形とする.このとき,各面すべてが\bigtriangleupABCと合同な四面体が存在することを示せ.

3.(東京大)
3辺の長さがBC=2a, CA=2b, AB=2cであるような鋭角三角形\bigtriangleupABCの3辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL, M, Nとする.線分LM, MN, NLに沿って三角形を折り曲げ,四面体をつくる.その際,線分BLとCL, CMとAM, ANとBNはそれぞれ同一視されて,長さがa,~b,~cの辺になるものとする.
(1) 線分MN, BLの中点をそれぞれP, Qとする.四面体を組み立てたとき,空間内の線分PQの長さを求めよ.
(2) この四面体の体積をa,~b,~cを用いて表せ.

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