正多面体

正多面体の問題をいくつか。まずは、正八面体の問題を2つ。

1.(山形大)
正四面体Vは1辺の長さがaであるとし,その各辺の中点のすべてを頂点として定まる多面体をWとする.
(1) 三角錐としてのVの高さを求めよ.
(2) Vの体積を求めよ.
(3) Vの概形を描き,その中にWの概形を描け.さらに,Wの多面体としての名称を明記せよ.
(4) Wの体積を求めよ.

2.(東京都立大)
3点O(0,0,0), A(2,0,0), B(1,\sqrt{3},0)を正八面体の3つの頂点としたとき他の3頂点の座標を求めよ.

次に正二十面体。最近よく出ます。

3.(岐阜薬科大)
1辺の長さが1の正二十面体Wのすべての頂点が球Sの表面上にあるとき,次の問いに答えよ.なお,正二十面体は,すべての面が合同な正三角形であり,各頂点は5つの正三角形に共有されている.
(1) 正二十面体の頂点の総数を求めよ.
(2) 正二十面体Wの1つの頂点をA,頂点Aからの距離が1である5つの頂点をB, C, D, E, Fとする.\sin 36°=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}を用いて,正五角形BCDEFの外接円の半径Rと対角線BEの長さを求めよ.
(3) 2つの頂点D, Eからの距離が1である2つの頂点のうち,頂点Aでない方をGとする.球Sの直径BGの長さを求めよ.
(4) 球Sの中心をOとする.\bigtriangleupDEGを底面とする三角錐ODEGの体積を求めよ.

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