多変数関数3

2018年1月28日

前の問題は条件式が2次のものも混じっていましたが条件式が2つありました。多変数の場合は条件式がたくさんある方が文字が減ったり条件がきつくなるので楽になります。次は条件式が2次式1つの場合。シュワルツの不等式を使うのが定石でしょう。

1.B (京都産業大)
(1) 不等式(a^2+b^2+c^2)(p^2+q^2+r^2) \geqq (ap+bq+cr)^2を示せ.ただし,a,~b,~c,~p,~q,~rは実数とする.
(2) 実数p,~q,~rp^2+q^2+r^2=6を満たしながら動くとき,p+q+2rの最大値,最小値を求めよ.
(3) 実数p,~q,~rp+q+r=8を満たしながら動くときp^2+q^2+4r^2+2qの最小値と,そのときのp,~q,~rの値を求めよ.

解答

2.B (東京薬科大)
実数a,~b,~c,~dは2つの等式a+b+c+d=7,~a^2+b^2+c^2+d^2=13をみたしている.このとき,dのとりうる値の範囲を求めよ.

解答

3.B (早稲田大)
(1) 実数x_i,~y_iを係数とするn個のtの2次式(x_it-y_i)^2={x_i}^2t^2-2x_iy_it+{y_i}^2,~i=1,~2,~\cdots,~nを用いて,不等式\left({\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}x_iy_i\right)^2 \leqq \left({\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}{x_i}^2\right)\left({\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}{y_i}^2\right)が成り立つことを示せ.
(2) 実数a_1,~a_2,~a_3,~a_4,~a_5a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=10,~{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+{a_4}^2+{a_5}^2=25を満たすとき,a_5の最大値を求めよ.

解答

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