多変数関数３

2016年9月28日2018年1月28日

前の問題は条件式が2次のものも混じっていましたが条件式が2つありました。多変数の場合は条件式がたくさんある方が文字が減ったり条件がきつくなるので楽になります。次は条件式が2次式1つの場合。シュワルツの不等式を使うのが定石でしょう。

１．B (京都産業大)
(1) 不等式 $(a^2+b^2+c^2)(p^2+q^2+r^2) \geqq (ap+bq+cr)^2$ を示せ．ただし， $a,~b,~c,~p,~q,~r$ は実数とする．
(2) 実数 $p,~q,~r$ が $p^2+q^2+r^2=6$ を満たしながら動くとき， $p+q+2r$ の最大値，最小値を求めよ．
(3) 実数 $p,~q,~r$ が $p+q+r=8$ を満たしながら動くとき $p^2+q^2+4r^2+2q$ の最小値と，そのときの $p,~q,~r$ の値を求めよ．

→解答

２．B (東京薬科大)
実数 $a,~b,~c,~d$ は2つの等式 $a+b+c+d=7,~a^2+b^2+c^2+d^2=13$ をみたしている．このとき， $d$ のとりうる値の範囲を求めよ．

→解答

３．B (早稲田大)
(1) 実数 $x_i,~y_i$ を係数とする $n$ 個の $t$ の2次式 $(x_it-y_i)^2={x_i}^2t^2-2x_iy_it+{y_i}^2,~i=1,~2,~\cdots,~n$ を用いて，不等式 $\left({\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}x_iy_i\right)^2 \leqq \left({\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}{x_i}^2\right)\left({\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}{y_i}^2\right)$ が成り立つことを示せ．
(2) 実数 $a_1,~a_2,~a_3,~a_4,~a_5$ が $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=10,~{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2+{a_4}^2+{a_5}^2=25$ を満たすとき， $a_5$ の最大値を求めよ．