分数関数3

2017年4月19日

最後に、分数関数でできた方がよい問題を5題。

1.(東京理科大)
(1) x>-\dfrac{1}{2}のとき,y=\dfrac{x^2-2x+5}{8x+4}のとり得る値の範囲を求めよ.
(2) x>-\dfrac{1}{2}のとき,y=\dfrac{8x+4}{x^2-2x+5}のとり得る値の範囲を求めよ.
(3) xが実数のとき,y=\dfrac{8x+4}{x^2-2x+5}のとり得る値の範囲を求めよ.

2.((2) 上智大)
(1) 関数y=\dfrac{6x^2-2x+11}{3x^2-x+3}の最大値を求めよ.
(2) 関数y=\dfrac{x^2+x-1}{x^2-x+1}x=(~~~~~)で最大値(  )をとり,x=(~~~~~)で最小値(  )をとる.

3.((1) 上智大 (2) 大阪薬科大 (3) 東京女子大)
(1) f(x)=\dfrac{x^2+ax+b}{x^2-x+1}の最大値が3,最小値が\dfrac{1}{3}であるとき,a,~bの値を求めよ.
(2) \dfrac{ax^2+8x+b}{x^2+1}の最大値が9,最小値が1となるように,定数a,~bの値を定めよ.
(3) すべての実数xに対して定義された関数f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2+ax+1}の最大値が2a,最小値がbであるとする.このとき,定数a,~bを求めよ.

4.(関西学院大)
実数x,~yx^2+y^2-4y+2=0を満たすとする.k=\dfrac{x}{y},~z=\dfrac{x^2+4xy+9y^2}{xy+2y^2}とおくとき,
(1) kのとりうる値の範囲を求めよ.
(2) zkの式で表せ.
(3) zの最小値とそのときのkの値を求めよ.
(4) zの最小値を与えるxの値は2つある.それらを\alpha,~\betaとするとき,\alpha+\betaを求めよ.

5.(同志社大)
x,~yが2つの不等式y \geqq \dfrac{x}{2},~y \leqq -x^2+3x-\dfrac{1}{4}を満たすとき,
P=\dfrac{x^2}{2x^2-2xy+y^2}
のとり得る値の最大値と最小値を求めよ.

6.(上智大)
(1) kを実数の定数とする.実数x,~yx+2y=kを満たすとき,x^2+2y^2の最小値を求めよ.
(2) 2変数関数f(x,y)=\dfrac{x+2y+3}{x^2+2y^2+3}の最大値を求めよ.

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