解と係数の関係1

大学入試で最も大切といえるかもしれない解と係数の関係の問題をいくつか。

1.(近畿大)
2次方程式x^2+x+2=0の2つの解を\alpha,~\betaとする.
(1) \alpha^4+\beta^4,~\alpha^5+\beta^5の値を求めよ.
(2) \alpha^9\beta^9を2つの解とする2次方程式のうち,x^2の係数が1であるものを求めよ.

2.((1) 慶応大 (2) 立教大)
(1) 2次方程式2x^2+4x+3=0の2つの解を\alpha,~\betaとする.このとき(\alpha-1)(\beta-1)=(~~~~~)であり,(\alpha-1)^4+(\beta-1)^4=(~~~~~)である.
(2) x^6+4x^3-1=0の2つの相異なる実数解を\alpha,~\betaとするとき,\alpha\beta,~\alpha+\betaの値を求めよ.

3.(近畿大)
2次方程式x^2-mx+n=0 (m,~nは実数)の2つの解を\alpha,~\betaとすると,\alpha^3+\beta^3=m^3+(~~~~~)mn,~\alpha^5+\beta^5=m^5+(~~~~~)m^3n+(~~~~~)mn^2である.\alpha=5+3\sqrt{2},~\beta=5-3\sqrt{2}とするとき,m=(~~~~~),~n=(~~~~~)であるから,\alpha^5+\beta^5=(~~~~~)となる.したがって,\alpha^5の整数部分は(  )で,\alpha^5-\beta^5の整数部分は(  )である.

4.(東京大)
2次方程式x^2-4x-1=0の2つの実数解のうち大きいものを\alpha,小さいものを\betaとする.n=1,~2,~3,~\cdotsに対し,s_n=\alpha^n+\beta^nとおく.
(1) s_1,~s_2,~s_3を求めよ.また,n \geqq 3に対し,s_ns_{n-1}s_{n-2}で表せ.
(2) \beta^3以下の最大の整数を求めよ.
(3) \alpha^{2003}以下の最大の整数の一の位の数を求めよ.

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