中間値の定理

2017年6月17日

中間値の定理を利用する問題です。中間値の定理は解の配置問題のすべての基本となります。

1.(一橋大)
a<b<cをみたす3つの実数a,~b,~cに対して,xに関する方程式2(x-b)(x-c)-(x-a)^2=0の2つの実数解\alpha,~\beta~(\alpha<\beta)a,~b,~cを大小順に並べよ.

2.(信州大)
a,~b,~c,~dを正の実数とする.2次方程式x^2-(a+b)x+ad-bc=0について
(1) 異なる2つの実数解をもつことを示せ.
(2) 2つの解のうち少なくとも1つは必ず正の数であることを示せ.
(3) 2つの解を\alpha,~\betaとし0<\alpha<\betaとするとき,a,~a+b,~\alpha,~\betaの大小関係を示せ.

3.(北海道大)
p_1,~p_2,~p_3p_1<p_2<p_3を満たす実数とし,
f(x)=(x-p_2)(x-p_3)+(x-p_3)(x-p_1)+(x-p_1)(x-p_2)とするとき
(1) 2次方程式f(x)=0p_1<x<p_2p_2<x<p_3の範囲にそれぞれ1つずつ解をもつことを示せ.
(2) a_1,~a_2,~a_30<a_1<a_2<a_3を満たす実数とし,
g(x)=a_1(x-p_2)(x-p_3)+a_2(x-p_3)(x-p_1)+a_3(x-p_1)(x-p_2)とする.方程式f(x)=0の解を\alpha,~\beta~(\alpha<\beta)とおくとき,2次方程式g(x)=0p_1<x<\alphap_2<x<\betaの範囲にそれぞれ1つずつ解をもつことを示せ.

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