解の配置２

2016年9月29日2017年6月17日

「2つの解が $a$ より大きい」、「2つの解が $a$ より小さい」、「1つの解が $a$ より大きくもう1つの解が $a$ より小さい」のパターンです。 $a=0$ のときは「2つの解が正」、「2つの解が負」、「1つの解が正でもう1つの解が負」と言い換えられます。解の配置問題は①実解、軸、境界の3条件を利用する方法、②解と係数の関係を利用する方法、③定数分離をしてグラフで考える方法の3つの方法があります。どの方法も問題により相性があり、場合によってはできない場合もあります。このパターンは解と係数の関係と相性が良いです。どういう状況にどの方法がよいのかということもしっかり理解しておく必要があります。まずは $a=0$ の場合からやってみましょう。

１．(富山県立大)
$x$ についての2次方程式 $x^2-2px+2p+1=0$ が次のような異なる2つの実数解をもつとき，定数 $p$ の値の範囲を求めよ．ただし， $p$ は実数とする．
(1) 2つの解がともに正
(2) 2つの解がともに負
(3) 1つの解が正，他の解が負

２．(関西大)
$k$ は実数の定数であるとする．方程式 $x^2-2kx+2k^2-2k-3=0$ について，
(1) この方程式が2つの実数解をもち，1つの解が正でもう1つの解が負であるための $k$ の値の範囲を求めよ．
(2) この方程式が，少なくとも1つの正の解をもつための $k$ の値の範囲を求めよ．

次は $a \ne 0$ の場合です。

３．(阪南大)
2次方程式 $x^2-2ax+a+7=0$ について考える．次のものを求めよ．
(1) 1より大きい2つの異なる解をもつための $a$ の値の範囲
(2) 1より小さい2つの異なる解をもつための $a$ の値の範囲
(3) 1より大きい解と1より小さい解とをもつための $a$ の値の範囲

４．(東海大)
$x$ の2次方程式 $x^2+2ax-a^2+1=0$ において，異なる2つの解がともに負となる実数 $a$ の値の範囲は(　　)，1つの解が1より小，他の解が2より大となる実数 $a$ の値の範囲は(　　)である．

次はこのパターンを利用した発展問題です。しっかり理解できているか確認してみて下さい。

５．(日本大)
$a$ を定数とする．2次方程式 $x^2+2ax-a-2=0$ の2つの解の絶対値がともに1より大きいような $a$ の値の範囲を求めよ．

６．(成城大)
2次方程式 $x^2-(a+2)bx+(a+1)b=0$ が異なる2つの実数解をもつとき，次の問いに答えよ．ただし， $a>0,~b>0$ とする．
(1) 少なくとも1つの解は1より大であることを示せ．
(2) 2つの解がともに1より大であるためには，さらにどのような条件をつけ加えることが必要十分か．

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