解の配置4

2019年8月20日

最後に最も面倒なタイプの問題をやってみましょう。aからbの間に「ただ1つの解をもつ」、「少なくとも1つの解をもつ」のパターンです。abを含むか含まないか (端点に=が付くか付かないか)で状況が変わってきますし、非常に厄介な問題です。定数分離がいちばん相性が良いです。まずは端点に=が付かない場合からやってみましょう。

1.(東京理科大)
kを定数とし,2次関数y=x^2-2kx+2k+3のグラフをCとする.Cが次の条件を満たすように,kの値の範囲を定めよ.
(1) x軸と異なる2点で交わる.
(2) x軸の-2<x<4の部分と,異なる2点で交わる.
(3) x軸の-2<x<4の部分と,1点のみで交わる.ただし,Cx軸と接する場合は考えない.
(4) x軸の-2<x<4の部分と,少なくとも1点で交わる.

解答

次は1と同じ状況ですが定数分離をしてもうまくいきません。したがって、実解、軸、端点などの条件を使って解くしかありません。こうなってくると嫌がらせに近いです。

2.(東京理科大)
kを定数とする2次方程式x^2-(2+k)x+k(2k+1)=0を考える.
(1) 異なる2つの実数解をもち,それらがともに正となるようなkの値の範囲を求めよ.
(2) 異なる2つの実数解をもち,そのうち1つだけが\dfrac{3}{2}<x<2となるようなkの値の範囲を求めよ.
(3) 異なる2つの実数解をもち,少なくとも1つが\dfrac{3}{2}<x<2となるようなkの値の範囲を求めよ.
(4) 異なる2つの実数解をもち,それらを\alpha,~\beta~(\beta>\alpha)としたとき,\beta-\alpha=\sqrt{3}となるようなkの値を求めよ.

解答

次は端点に=が付く場合です。

3.(自治医大)
xの2次方程式x^2+(2-a)x+4-2a=0\cdots①が次の条件を満たすとき,定数aの値の範囲を求めよ.
(1) ①が異なる2つの実数解をもつ.
(2) ①が-1 \leqq x \leqq 1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ.

解答

4.(西南学院大)
aを正の実数とし,xについての2次方程式2ax^2-2x+4a-1=0\cdots①を考える.
(1) 方程式①が-\dfrac{1}{3} \leqq x \leqq 2の範囲にただ1つの解をもつ (ただし,重解は除く).このときaの値の範囲を求めよ.
(2) 方程式①が-\dfrac{1}{3} \leqq x \leqq 2の範囲に少なくとも1つの解をもつ.このときaの値の範囲を求めよ.

解答

軸の位置で場合分けをしてもできます。この辺はどちらがいいというより好みの問題なので自分がやりやすい方で解ければよいと思います。手間はあまり変わりません。

別解

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ