2次不等式5

2018年3月5日

次は定数分離をして定数の範囲を定める問題です。定数分離でうまくできないときは解の配置問題のようなことをやります。それらは6にまとめてあります。

1.(甲南大)
(1) (x-1)(x+2)-2<0を満たす整数xを求めよ.
(2) (x-1)(x+2)-a<0を満たす整数xがちょうど10個となるような実数aの値の範囲を求めよ.
(3) (x-b)(x+2)-2<0を満たす整数xがちょうど3個となるような実数bの値の範囲を求めよ.

2.(秋田大)
整数mに対し,f(x)=x^2-mx+\dfrac{m}{4}-1とおく.
(1) 方程式f(x)=0が,整数の解を少なくとも1つもつようなmの値を求めよ.
(2) 方程式f(x) \leqq 0を満たす整数xが,ちょうど4個あるようなmの値を求めよ.

3.(一橋大)
kを正の整数とする.5n^2-2kn+1<0を満たす整数nが,ちょうど1個であるようなkをすべて求めよ.

4.(甲南大)
(1) 任意の実数aに対して,不等式a^4+b^3 \geqq a^3+ab^3が成り立つような実数bの値を定めよ.
(2) 任意の整数aに対して,不等式a^4+b^3 \geqq a^3+ab^3が成り立つような整数bの値を定めよ.

5.(東京大)
nを正の整数,aを実数とする.
すべての整数mに対してm^2-(a-1)m+\dfrac{n^2}{2n+1}a>0が成り立つようなaの値の範囲をnを用いて表せ.

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