相反方程式

2016年9月30日

高次方程式の問題です。基本的なものは解けると仮定して、まずは相反方程式から。

１．
次の方程式を解け．
(1) $x^4-2x^3-x^2-2x+1=0$
(2) $x^5-4x^4+x^3+x^2-4x+1=0$

相反方程式ではありませんが、類題を1つ。

２．(九州歯科大)
(1) $t=x+\dfrac{a}{x}$ とおくとき，4次方程式 $x^4+3x^3-11x^2-12x+16=0$ が $t$ の2次方程式になるように $a$ を決定し，この2次方程式を求めよ．
(2) (1)で求めた $t$ に関する2次方程式の2つの解を $\alpha$ と $\beta$ とするとき， $A=\dfrac{\beta}{\alpha}+\dfrac{\alpha}{\beta}$ と $B=\alpha^3+\beta^3$ の値を求めよ．
(3) 4次方程式 $x^4+3x^3-11x^2-12x+16=0$ の4つの解を $\gamma_1,~\gamma_2,~\gamma_3,~\gamma_4$ とするとき， $C=\dfrac{1}{\gamma_1}+\dfrac{1}{\gamma_2}+\dfrac{1}{\gamma_3}+\dfrac{1}{\gamma_4}$ と $D=(\gamma_1)^2+(\gamma_2)^2+(\gamma_3)^2+(\gamma_4)^2$ の値を求めよ．