3次方程式の解法

2018年7月13日

カルダノの公式の問題を1つ。類題多数。

1.(大阪教育大)
\alpha=\sqrt[3]{\sqrt{\dfrac{28}{27}}+1}-\sqrt[3]{\sqrt{\dfrac{28}{27}}-1}とする.
(1) 整数を係数とする3次方程式で,\alphaを解にもつものがあることを示せ.
(2) \alphaは整数であることを示せ.また,その整数を答えよ.

カルダノの公式ではありませんが、類題を1つ。

2.(九州大)
複素数\alpha\betaを次で定める.\alpha=\sqrt{5}-1+\sqrt{10+2\sqrt{5}}i,~\beta=-\sqrt{5}-1+\sqrt{10-2\sqrt{5}}i
(1) \alphaを解にもち,しかもすべての係数が実数であるような2次方程式を求めよ.
(2) \alphaおよび\betaの両方を解にもち,しかもすべての係数が実数であるような4次方程式を求めよ.
(3) \beta^5を求めよ.

次は3次方程式はカルダノの公式により1のような解が得られますが、どのようにして1のような解が得られるかという問題です。

3.(静岡大)
3次方程式x^3-1=0の1と異なる解の1つを\omegaとする.このとき,
(1) \omega^2+\omegaの値を求めよ.
(2) 等式x^2-3abx+a^3+b^3=(x+a+b)(x+a\omega+b\omega^2)(x+a\omega^2+b\omega)を示せ.
(3) (2)を利用して3次方程式x^3-6x+6=0の解を\omegaを用いて表せ.

4.(首都大)
(1) すべての実数x,~y,~zに対して次の等式が成り立つような実数の組(a,b)を1組求めよ.
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)\{x+(a+bi)y+(a-bi)y\}\{x+(a-bi)y+(a+bi)z\}
ただし,iは虚数単位とする.
(2) y^3+z^3=91,~yz=12を満たす整数の組(y,z)を1組求めよ.
(3) 3次方程式x^3-36x+91=0の解をすべて求めよ.

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