解と係数の関係2

2017年6月12日

解と係数の関係の応用問題です。

1.(大阪府立大)
実数を係数とするxについての方程式x^3+ax^2+bx+c=0が異なる3つの解\alpha,~\beta,~\gammaをもち,それらの2乗\alpha^2,~\beta^2,~\gamma^2が方程式x^3+bx^2+ax+c=0の3つの解となるとき,定数a,~b,~cの値および,方程式x^3+ax^2+bx+c=0の3つの解を求めよ.

2.(津田塾大)
3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0の解を\alpha,~\beta,~\gammaとする.
(1) a,~b,~cのそれぞれを\alpha,~\beta,~\gammaで表せ.
(2) a,~b,~cを整数とする.a,~b,~cのうち2つが奇数で1つが偶数であるとき,\alpha,~\beta,~\gammaの中の少なくとも1つは整数でないことを示せ.

3.(首都大)
実数a,~b,~c,~dに対しxの3次の整式P(x)=ax^3+bx^2+cx+dを考える.ただし,ad \ne 0とする.方程式P(x)=0の3つの解を\alpha,~\beta,~\gammaとするとP(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)であることが知られている.
(1) 積\alpha\beta\gamma,和\alpha+\beta+\gamma,~\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}を,それぞれa,~b,~c,~dを用いて表せ.
(2) もし\alphaが実数でないならば,方程式P(x)=0\alphaの共役な複素数\overline{\alpha}を解のもつことを証明せよ.
(3) 解\alpha,~\beta,~\gammaのうち実数となるものの個数は0, 1, 2, 3のどれか,考えられる可能性をすべて答えよ.
(4) もしad>0ならば,解\alpha,~\beta,~\gammaのうち正の実数となるものの個数は0, 1, 2, 3のどれか,考えられる可能性をすべて答えよ.

4.(学習院大)
a,~b,~cは実数とする.3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0が1つの実数解と2つの純虚数解をもつための必要十分条件はab=cかつb>0であることを示せ.ただし,純虚数とは実数部分が0で虚数部分が0でない複素数をいう.

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