解と係数の関係２

2016年9月30日2017年6月12日

解と係数の関係の応用問題です。

１．(大阪府立大)
実数を係数とする $x$ についての方程式 $x^3+ax^2+bx+c=0$ が異なる3つの解 $\alpha,~\beta,~\gamma$ をもち，それらの2乗 $\alpha^2,~\beta^2,~\gamma^2$ が方程式 $x^3+bx^2+ax+c=0$ の3つの解となるとき，定数 $a,~b,~c$ の値および，方程式 $x^3+ax^2+bx+c=0$ の3つの解を求めよ．

２．(津田塾大)
3次方程式 $x^3+ax^2+bx+c=0$ の解を $\alpha,~\beta,~\gamma$ とする．
(1) $a,~b,~c$ のそれぞれを $\alpha,~\beta,~\gamma$ で表せ．
(2) $a,~b,~c$ を整数とする． $a,~b,~c$ のうち2つが奇数で1つが偶数であるとき， $\alpha,~\beta,~\gamma$ の中の少なくとも1つは整数でないことを示せ．

３．(首都大)
実数 $a,~b,~c,~d$ に対し $x$ の3次の整式 $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ を考える．ただし， $ad \ne 0$ とする．方程式 $P(x)=0$ の3つの解を $\alpha,~\beta,~\gamma$ とすると $P(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ であることが知られている．
(1) 積 $\alpha\beta\gamma$ ，和 $\alpha+\beta+\gamma,~\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}$ を，それぞれ $a,~b,~c,~d$ を用いて表せ．
(2) もし $\alpha$ が実数でないならば，方程式 $P(x)=0$ は $\alpha$ の共役な複素数 $\overline{\alpha}$ を解のもつことを証明せよ．
(3) 解 $\alpha,~\beta,~\gamma$ のうち実数となるものの個数は0, 1, 2, 3のどれか，考えられる可能性をすべて答えよ．
(4) もし $ad>0$ ならば，解 $\alpha,~\beta,~\gamma$ のうち正の実数となるものの個数は0, 1, 2, 3のどれか，考えられる可能性をすべて答えよ．