連立方程式

2018年8月17日

対称式の連立3元3次方程式です。

1.(慶応大)
(*)\left\{\begin{array}{l} x+y+z=2\\ x^2+y^2+z^2=14\\ x^3+y^3+z^3=20 \end{array}\right.
をみたすx,~y,~zを3解とするtの3次方程式はt^3+(~~~~~)t^2+(~~~~~)t+(~~~~~)=0である.これから,連立方程式(*)の解はx \leqq y \leqq zとすると,(x,y,z)=(~~~~~)である.

2.(東京理科大)
実数aに対し,x,~y,~zの連立方程式x+y+z=2a,~x^2+y^2+z^2=2,~x^3+y^3+z^3=2a^2(3-2a)の解はxy+yz+zx=(~~~~~),~xyz=(~~~~~)を満たす.このことから,aの値にかかわらずこの連立方程式の解x,~y,~zのうち1つは必ず(  )になることがわかる.したがって,この連立方程式の解x,~y,~zがすべて正の実数であるための条件は(~~~~~)<a \leqq (~~~~~)である.

3.(静岡大)
実数x,~y,~zが次の3つの等式x+y+z=0,~x^3+y^3+z^3=3,~x^5+y^5+z^5=15を満たしている.x^2+y^2+z^2=aとおくとき,
(1) xy+yz+zxaを用いて表せ.
(2) xyzの値を求めよ.
(3) aの値を求めよ.

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