高次方程式の解の個数

2016年10月3日

高次方程式の解の個数の問題です。

１．(立教大)
3次方程式 $(x-1)(x^2+ax+a+2)=0$ が2重解をもつとき， $a$ の値をすべて求めよ．

２．(滋賀大)
3次方程式 $x^3+(a-2)x^2+(b-2a)x-2b=0$ が2重解をもつための $a,~b$ の条件を求め，点 $(a,b)$ の範囲を図示せよ．

３．(大阪医大)
(1) 4次方程式 $(x^2+ax+4)(x^2+4x+a)=0$ が相異なる4つの実数解をもつような実数 $a$ の範囲を求めよ．
(2) (1)を満たす $a$ に対して，2次方程式 $x^2+ax+4=0$ の実数解を $\alpha,~\beta~(\alpha<\beta),~x^2+4x+a=0$ の実数解を $\gamma,~\delta~(\gamma<\delta)$ とするとき， $\alpha,~\beta,~\gamma,~\delta$ を大小の順に並べよ．