高次方程式の解の問題１

2016年10月3日

高次方程式の解の問題です。

１．(名城大)
$x$ の4次方程式 $x^4-ax^2+1=0$ ( $a$ は実数の定数) $\cdots$ (＊)について，
(1) $x^2=X$ とおくとき，(＊)を $X$ の方程式として表せ．
(2) (1)の方程式が異なる2つの正の実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ．
(3) (＊)が異なる4つの実数解をもち，それらが数直線上で等間隔に並ぶとき， $a$ の値と4つの実数解を求めよ．

２．(成城大)
(1) $x$ についての方程式 $x+\dfrac{1}{x}=t$ が相異なる2つの正の解をもつための実数 $t$ の条件を求めよ．
(2) $x$ についての4次方程式 $x^4-ax^3+(a+6)x^2-ax+1=0$ が相異なる4つの正の解をもつための実数 $a$ の条件を求めよ．

３．(大阪大)
$x$ についての方程式 $x^2+ax+b+\dfrac{a}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0$ を考える．ここで $a,~b$ は実数である．
(1) この方程式の4つの解がすべて正であるための必要十分条件を $a,~b$ を用いて表せ．
(2) $2a+b=14$ とする．このとき上の方程式の4つの解がすべて正の数で，かつそれらが等比数列をなすような $a,~b$ の値を求めよ．